обслуживания называют работу Эрланга «Теория вероятностей и телефонные разговоры», опубликованную в 1909 г. [55].

Рассмотрение сформулированных выше вопросов мы проведем в такой последовательности: сначала приведем исходные определения и допущения, затем рассмотрим основные модели системы, остановившись подробнее на характеристиках обычно используемой в практике модели системы с отказами (модели Эрланга В ), и закончим изложением методики расчета с примером.

Начнем с основных определений и обычно используемых допущений. Наиболее общей характеристикой случайного потока вызовов является средняя частота поступления вызовов X, измеряемая числом вызовов в единицу времени - например, X выз/ч.

Аналогичным образом вводится средняя продолжительность обслуживания одного вызова (средняя продолжительность разговора) Г, измеряемая в единицах времени. Произведение указанных величин А= XT дает средний трафик (интенсивность трафика, интенсивность нагрузки, поток нагрузки), измеряемый в эрлангах - в честь датского ученого А.К.Эрланга (1878 - 1929 гг.) - первого ученого в области теории телетрафика. Например, если Х = 20 выз/ч, Г= 0,2 ч, то трафик А = 4 эрл. Для измерения X \л Т могут использоваться любые единицы времени, но, во избежание недоразумений, удобнее, если в обоих случаях единица времени одна и та же. Характеристики нагрузки - среднюю частоту поступления вызовов X, трафик А - обычно оценивают для часа пик, т.е. для часового интервала в период наибольшей нагрузки системы связи.

Частота поступления вызовов, являющаяся случайной величиной, обычно описывается распределением Пуассона, определяющим вероятность поступления к вызовов (дискретная случайная величина) за время t:

(Ml к!

Xt>0, к>0.

При этом среднее число.вызовов на интервале t и дисперсия числа вызовов на том же интервале равны соответственно

к = Xt, Df, = Xt,

т.е. входящий в выражение для параметр X - это определенная выше средняя частота поступления вызовов (среднее число вызовов в единицу времени). В качестве иллюстрации на рис.2.54 приведен график распределения Пуассона для Xt = 4.

Продолжительность обслуживания одного вызова (длительность занятости канала связи) - непрерывная случайная величина т - описывается экспоненциальным распределением

Число вызовов

Рис. 2.54. Распределение Пуассона при Xt = 4

которому соответствуют среднее значение и дисперсия:

т = Т, D, = Г2,

т.е. среднее совпадает с определенной выше средней продолжительностью обслуживания одного вызова. На рис. 2.55 приведен график экспоненциального распределения для Г - 0,3.

Перейдем к моделям системы сотовой связи. Во всех моделях поток вызовов принимается подчиняющимся распределению Пуассона, и продолжительность обслуживания вызова - экспоненциальному распределению, а разные модели отличаются одна от другой тем, какая участь постигает вызовы, поступающие в моменты времени, когда все каналы системы заняты. Эти вызовы могут сбрасываться, т.е. аннулироваться (система с отказами), или становиться в очередь и ждать освобождения канала неопределенно долгое время, после чего обслуживаться в течение необходимого интервала времени (система с ожиданием); возможны промежуточные случаи, например, модели с ожиданием, но в течение ограниченных интервалов времени.

В системе с отказами (модель Эрланга В ; в английской терминологии - lost-calls-cleared conditions, т.е. условия сброса вызовов, получивших отказ) вероятность отказа (вероятность поступления вызова в момент, когда все каналы заняты) определяется выражением

о 0.5 1

Продолжительность обслуживания

Рис. 2.55. Экспоненциальное распределение при Г = 0,3

A/N! •Z(A"/n!)

Где N - число каналов, А - трафик.

(2.2)

В системе с ожиданием (модель Эрланга С ) вероятность задержки (вероятность того, что поступивший вызов не обслуживается немедленно, а становится в очередь)

NI(N-A)

где, в дополнение к прежним обозначениям,

Рос - »-, д»„

- вероятность того, что все каналы свободны.

В системе с ограничением времени ожидания и времени обслуживания после ожидания (модель Эрланга А или модель Пуассона) вызов, поступивший в момент занятости всех каналов, становится в очередь, но время ожидания не превышает среднего времени обслуживания (средней продолжительности разговора). Если за это время хотя бы один канал освобождается, вызов занимает его на оставшуюся часть среднего времени обслуживания, после чего сбрасывается. В такой системе вероятность отказа

n=N П •

При оценках емкости систем сотовой связи обычно используется модель Эрланга В (модель системы с отказами). Некоторым оправданием к тому может служить то обстоятельство, что при малых вероятностях отказа модели Эрланга В и С дают достаточно близкие результаты (рис.2.56). Заметим попутно, что, как это наглядно видно из графиков рис.2.56, при Pg > 0,1 сравнительно небольшое возрастание трафика приводит к резкому росту вероятности отказа, т.е. к существенному ухудшению качества обслуживания. Поэтому расчет емкости системы обычно производится для значений Рд (вероятности отказа, или вероятности блокирования вызова) в пределах 0,01...0,05.

Приведем некоторые дополнительные характеристики для модели Эрланга В.

Вероятность того, что все каналы свободны.

Ров -

EMVn.)

0.5 т

1 0.4-

° 0.3

i 0.2--

i 0.1

" о 4-

20 30 Трафик А

Рис. 2.56. Вероятность отказа (вероятность блокирования вызова) Р в зависимости от трафика А (эрланг) при числе каналов Л/ = 50 для моделей Эрланга В и С

Вероятность того, что занято К каналов,

Ркв = РовА" / К! .

Среднее число занятых каналов:

I< = PobZ(A"/(n-V!) .

Формула (2.2), определяющая вероятность блокирования вызова в системе с отказами, несколько громоздка для непосредственного применения. На практике обычно пользуются ее представлением в виде таблицы [133, 88]. Пример табулированного представления этой формулы дает табл. 2.13. Опираясь на данные этой таблицы, отметим, что с увеличением числа каналов трафик растет быстрее, чем число каналов, особенно при числе каналов менее 30...40. Поэтому в рационально построенной системе сотовой связи должно быть во всяком случае не менее 30 каналов на ячейку.

Рассмотрим методику использования формулы (2.2). В нее входят три параметра: число каналов N, трафик А и вероятность отказа Рд . Если известны любые два параметра, можно однозначно найти третий. Например, если известно число каналов, и мы задаем некоторую вероятность отказа, то находим трафик, который при этом может быть обслужен. Приведем пример. Рассмотрим

Гдава 2;

систему сотовой связи, состоящую из 70 ячеек, в каждой из которых используется 30 каналов (если это цифровая система, использующая метод TDMA, то имеется в виду число физических каналов).

• Таблица 2.13. Модель Эрланга В (система с отказами)

Если мы хотим обеспечить вероятность отказа 0,01, то в соответствии с табл. 2.13 может быть обслужен трафик 20,3 эрланга на ячейку. Если в час пик каждый абонент делает в среднем один вызов в час и средняя продолжительность разговора составляет 2 мин, или 1/30 ч, то трафик на одного абонента составляет 1/30 эрл, и, следовательно, в каждой ячейке может быть обслужено 20,3 : 1/30 = 609 абонентов, а во всей системе, состоящей из 70 ячеек, 609 . 70 = 42630 абонентов.

Такова емкость рассматриваемой системы, рассчитанная в соответствии с общепринятым подходом для часа наибольшей нагрузки. При этом на основе приведенных выше формул среднее иисло занятых каналов К = 20,1, а вероятность того, что все каналы ь сбодны или что занято 10 или 20 каналов, составляет соответственно Ров= 1.55 • 10. Рюв = 0.055, Ргов

Принципы построеиия и технические проблемы 141

2.6. Проблема проектирования систем сотовой связи

Проектирование - один из наиболее сложных и ответственных этапов развертывания сетей сотовой связи, поскольку он должен обеспечить возможно более близкое к оптимальному построение сети по критерию эффективность - стоимость. Формально задача проектирования проста: надо определить места установки базовых станций («расставить базовые станции») и распределить имеющиеся частотные каналы между ячейками (составить территориально-частотный план в соответствии с принципом одновременного использования Одних и тех же частот в геометрически разнесенных ячейках) таким образом, чтобы обеспечить обслуживание сотовой связью заданной территории с требуемым качеством при минимальном числе базовых станций, т.е. при минимальной стоимости инфраструктуры сети. Фактически эти задача очень сложна. С одной стороны, чрезмерное сгущение сети, то есть чрезмерно частая расстановка базовых станций, невыгодна, так как влечет за собой неоправданные затраты. С другой стороны, слишком редкое расположение базовых станций может привести к появлению необслуживаемых «белых пятен», что тем более недопустимо. Задача дополнительно осложняется трудностью аналитической оценки характеристик распространения сигналов и расчета напряженности поля, а также необходимостью учета неравномерности трафика в пределах обслуживаемой территории. Поэтому проектирование систем сотовой связи требует специалистов высокой квалификации, имеющих опыт как в части решения технических вопросов, так и в части характеристик рынка.

Подробное рассмотрение вопросов проектирования выходит за рамки плана данной книги, мы кратко рассмотрим лишь основные этапы решения этой проблемы.

Поскольку конфигурация и параметры сети существенным образом зависят от условий местности (рельефа, характеристик застройки и т.п.) и в ходе разработки проекта приходится выполнять большой объем расчетов, требующих интенсивного использования вычислительных средств, проектирование начинается с создания электронной карты территории, т.е. с переноса в компьютер топографической карты местности со всеми параметрами и характеристиками, существенными для составления проекта. Затем с учетом характеристик намечаемой к использованию аппаратуры и результатов приближенной оценки энергетического баланса производится предварительное проектирование ячеек сети и позиций базовых станций. Для полученной схемы с использованием имеющихся моделей распространения радиоволн и характеристик местности более точно рассчитываются параметры электромагнитного поля в пределах обслуживаемой территории, позволяющие Оценить качество покрытия. Для той же схемы составляется территориально-частотный план (распределение частотных каналов по