действительное дисперсионное соотношение, оно с помощью преобразования и = ехр {-t) U (х, t) приводится к виду

(1.18)

Рис. 1.3

Из этого уравнения определяется действительное дисперсионное соотношение

<02 = а2/2 р2 (119)

Для реальных механических элементов выполняется условие Р < [34]. Это означает, что затухание мало и членами

в (1.19) и -pt/ в (1.18) можно пренебречь. У таких слабо-диссипативных элементов свойства распространяемых волн колебаний, в сущности, те же, что и у недиссипативного элемента (1.2), за исключением экспоненциального затухания. В этом случае частота со очень близка к соо, а затухание для зависимой переменной u{x,t) определяется множителем ехр(-р/).

Поэтому в электроприводах с распределенными параметрами механических элементов устранение колебаний исполнительных органов осуществляется за счет электрической части системы путем введения определенных корректирующих сигналов. В связи с этим в дальнейшем будут рассматриваться только недис-сипативные механические элементы с распределенными параметрами.

Элемент второго типа - стержневой механический элемент с поперечными колебаниями. Рассмотрим механический элемент с распределенными параметрами, имеющий прямоугольное сечение и испытывающий изгибные колебания (рис. 1.3). Уравнение поперечных изгибных колебаний такого элемента имеет вид [34]

т ix) -f [EJ ix) = 0, (1.20)

где m(x) -масса стержня на единицу длины; yix,t) - смещение каждой точки поперечного сечения с координатой х от положения равновесия; £ -модуль Юнга материала элемента;

/t(x)/2

Jix) - bix) ifйт]-момент инерции поперечного сечения

-ft(x),2

С координатой х относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси z. Для однородного элемента дифференциальное уравнение колебаний упрощается:

ду (X, t)

(1.21)

где = m/EJ.

Полагая y - Acosiat - kx) и подставляя это выражение в (1.20), получим дисперсионное уравнение для изгибных колебаний однородного механического элемента с распределенными параметрами: ак - а> = 0. Отсюда находим а = к/а, c = V<»/o. C - 2-\/(i)/a. Таким образом, фазовая скорость зависит от частоты, а групповая скорость вдвое больше фазовой. Это означает, что изгибные волны распространяются вдоль механического элемента с дисперсией и форма любого негармонического воздействия по мере распространения искажается.

Рассмотрим собственные изгибные колебания консольного однородного элемента с распределенными параметрами длины I. Граничные условия для такого элемента имеют следующий вид:

на закрепленном конце -

f/(0,/) = 0; dyiO,t)/dl = 0,

(1.22)

на свободном конце -

dyil,t)/di = 0; dyil,f)/df = 0. (1.23)

Решение задачи можно провести разделением переменных, полагая yix,t)-Tit)zix). Подставив это выражение в (1.21), получим

(fTlde + &4 = Q\ dzldx* - af5?z = Q, (1.24)

где со - неизвестный параметр, имеющий смысл частоты колебаний.

Общее решение уравнения (1.24) будет

г{х) - Achkx -\- В ihkx -\- С cos kx-\- D sin kx.

(1.25)

где ft = Vaco.

Решение (1.25) удобно записать в другом виде, выразив произвольные постоянные А, В, С и D через значения функции 2 и ее производных при х = 0. Подставив (1.25) в гранич.. ные условия (1.22) и (1.23), получим:

= [2(0)-f2"(0)/fe]/2; в = 4 +.flip..

C=[2(0)-z"(0)»; D = 4

Подставив эти выражения в (1.25), получим

2 (л:) = 2 (0) Z, ikx) -f z (0) Za {kx) + г" (0) Zg {kx) -f z" (0) Z {kx),

(1.26)

где Z, il) = у (chl -f cosl); Ц) = (sh -f sin g); 2з(1)= 2(ch-cos); zj)=(shp-№5)r

Ч5Т..ЗЬ~-".; V

кг:вао.тр-зи .-ельный уж:и i ут

Е И Б ДИ О Т Е Н

функции Zi().....Zfd) обычно называются функциями Крылова. При учете граничных условий (1.22) имеем

2 (х) = 2" (0) Z3 (kx) + z" (0) z4 (fejt).

(1-27)

Параметр k определяется исходя из удовлетворения уравнения (1.27) граничным условиям (1.23) на другом (свободном) конце элемента:

2"(0)Z(fe/) + z"(0)ZJfe/) = 0;

2" (0) Zf (feZ)-f z"(0) Z7(Л/) = 0.

(1.28)

Система (1.28) представляет собой однородную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных 2"(0) и 2"(0). Следовательно, собственные значения k определяются из условия равенства нулю ее детерминанта:

zl (kl) zT (kl) - Z3" (kl) z" (kl)=0.

Подставляя в последнее уравнение выражения для функций Крылова, получим характеристическое уравнение для элемента, испытывающего поперечные изгибные колебания:

l+chkl cos kl = 0.

Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество корней; наименьший корень дает значение частоты основного тона. Определение корней трансцендентных уравнений производится либо графическими методами, либо численными с применением ЭВМ [36].

Для данного случая находим fe)/= 1,875, М = 4,694, кз1 = = 7,854, .... fe„/« (2п-1)л/2 при « > 3. Последняя формула уже при п = 3 дает значение kj с точностью до трех десятичных знаков.

Из выражений (1.27) и (1.28) следует, что собственные формы изгибных колебаний консольного однородного механического элемента с распределенными параметрами имеют вид

Zn(x) = C[Z3{knx) -Zs (knl) Z,{knl)/Z{knl)]- (1.29)

Решение в форме (1.26) справедливо и для неоднородного элемента, когда жесткость на изгиб EJ и масса на единицу длины зависят от координаты х. Только теперь функции Zl, z4 не будут определяться приведенными выражениями. В этом случае функция Zi(x) представляет собой частное решение уравнения (1.20) с начальными условиями 2(0)= 1, z(0) = 2"(0)=z"(0) = 0. Функция Zzix) получится, если решить это же уравнение с начальными условиями 2(0)=1, 2(0) = 2"(0) = 2"(0) = 0. Аналогично начальные условия для получения функций Z3(x) и Zi(x) нужно взять следующими:

2"(0)=1, 2(0) = 2(0) = 2"(0)=0 И 2"(0)=1, 2(0) = 2(0) = =2"(0) = 0.

Значение функций типа функций Крылова для совокупности значений со достаточно при определении собственных частот и форм колебаний неоднородного механического элемента с распределенными параметрами. Действительно, из характеристического уравнения можно определить собственные значения (л„, а затем по формуле (1.29) вычислить собственные формы изгибных колебаний.

Элемент третьего типа - кольцевой механический элемент с распределенными параметрами. Имеется широкий класс электроприводов с распределенными параметрами механических элементов, характерной особенностью которых является наличие прямой и обратной ветвей одномерного элемента. В отдельных точках такого элемента располагаются связанные с ним сосредоточенные массы, число которых может составлять от одного-двух до десяти и более. Такого рода одномерные кольцевые точечно - неоднородные механические элементы с распределенными параметрами целесооб-

Cis

хп x, хз

Рис. 1.4

-j,------,------- ----

разно рассматривать как элементарные звенья, которые в силу своего широкого распространения и общности описания необходимо выделить в отдельную группу. Расчетная механическая модель такого элемента, испытывающего продольные колебания, представлена на рис. 1.4. В целях общности рассматриваются п сосредоточенных масс mi.

Задача математического описания кольцевого точечно-неоднородного элемента с распределенными параметрами сводится к отысканию решения дифференциального уравнения в частных производных

Ltu {X, t) = р (X) - Е = f(x,t) (1.30)

с начальными условиями

ди (x, t)

u{x,t)\fQ = uo(x),

= щ(х)

н граничными условиями

ди (x, t) дх

ди {x, t)

\х~0

(1.31)

(1.32)

при О л; /; / 0; р (jc) > 0; Е > О, где Lt - дифференциальный оператор; и (х, t) - смещение точки с координатой х механического элемента с распределенными параметрами в момент времени t; р(х) -плотность материала элемента в точке х; £ = const-модуль упругости материала элемента; uo{x) и ii(x)-смещение и скорость смещения сечения х элемента в Момент времени / = 0; / - длина кольцевого элемента.

Сосредоточенные массы гщ, расположенные в точках xi, учитываются при помощи б-функций в виде бесконечных скачков плотности материала механического элемента в точках xi. Тогда

Р W = Pz + S tnfi (х - xt), pi = const.

(1.33)

где pt - плотность элемента с распределенными параметрами,

не нагруженного массами.

Четвертый тип элементов - разветвленные механические элементы с распределенными параметрами. Разветвленные механические элементы состоят из совокупности соединенных между собой однородных элементов первого, второго и третьего типов. В процессе работы электропривода некоторые из этих однородных элементов испытывают одновременно один, два или все три типа деформаций - изгибные, крутильные и продольные.

Простейшим механическим элементом является длинный прямой однородный стержень. При наличии одновременного действия деформаций кручения, продольного и поперечного изгибов динамика таких элементов без учета рассеивания энергии описывается уравнениями (1.2), (1.3) и (121),

Применив преобразование Лапласа по времени при нулевых начальных условиях к этим уравнениям, получим:

-«(•" -рри{х,р) = 0;

1р\{х,р) = 0,

(1.34)

шЩ-тру(х, р) = 0.

Решение уравнений (1.34) по координате * ищем в следующем виде [35]:

и(х, p) = ci{p)shax + c2{p)chax; Ч) (х, р) = сз (р) sh pjc -f ci (p) ch pjc;

у{х,р) = с5{р)г{х,у) + се{р)г{х,у)+ (1.35)

+ cj{p)Zs{x, y) + cAp)Z,{x,y),

где a = pJЩ, = Рл1ШЦ; у = \/-mpV{EJ); Zy{x,y),... Zi(x, y) - функции Крылова. Коэффициенты ci(p), .... csip) определяются в результате решения задачи Коши из граничных условий в точке х = 0. Этими граничными условиями являются: для продольных колебаний - изображения продольного смещения сечения

для крутильных коле-

но (р) и усилия N,{p) = Es

баний - изображения угла поворота фо(р) и момента кручения

для изгибных колебаний - изобра-

Moip) = GJ,P

\х-0

хения поперечного сечения Уо{р). угла поворота (7о(р У . изгибного момента M„,,,{p) = EJ

и перерезывающей силы Qoip) = EI Эти граничные

условия представляют собой функции, удовлетворяющие условию единственности решения дифференциального уравнения. Зная ci(p), съ(р), можно определить вектор состояния механического элемента в точке х = 1 посредством матрицы состояния

(1.36)

где й = [и, NY; Ф = [ф. у = [у.д,М

матрицы

QY, а элементы

1в =

cha/

sh al

ch р/

sh pi

; L2= PG/p

aEsshaJ cha/ pG/pShp/ chp/J

Zl ZY- ZsiEJyT Z{EJyT~ Zci Z, ZiEJy)- ZiEJy- ZESy ZEJy Z, ZgY-

IzEJy ZEJy Z4Y Z,

1.3. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЭЛЕМЕНТОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1.3.1. Общие замечания. Рассмотренные в § 1.2 механические элементы различных типов (стержневые с продольным или поперечным изгибом, кольцевой с продольным изгибом, замкнутые распределенные элементы) имеют существенные различия в математическом описании объектов с распределенными параметрами. В настоящее время в теории и практике расчета систем управления с распределенными параметрами наметились два основных метода исследования. Один из методов базируется на математическом аппарате, использующем расчетные функции и дискретное преобразование Лапласа. Этот метод дает возможность применить способы исследования, аналогичные тем, которые являются характерными для анализа линейных амплитудно-импульсных систем автоматического регулирования [12].

Другой метод основан на применении интегрального преобразования Лапласа (операционный метод). Метод операционного исчисления представляет собой своеобразный способ решения различных математических задач, в первую очередь дифференциальных уравнений, получивший широкое распространение. В основе этих методов лежит идея интегральных преобразований,