значение средней квадратнческой погрешности

е = I р (ш) [Л (ш) - А* (т)]2 (4.24)

при р((й) = 1, где р (to) - весовой множитель; [О, Q] - частотный диапазон, в котором оценивается погрешность замены исходной Л(сй) и аппроксимирующей /4* (со) частотных характеристик.

Оценка типа (4.24) применяется часто при оптимизационной постановке задачи аппроксимации [21]. В нашем случае минимизация средней квадратнческой погрешности (4.24) происходит автоматически. Во-вторых, улучшение аппроксимации путем добавления нового члена c„/(p-f-p) не меняет ранее вычисленных коэффициентов. Приведя выражение (4.23) к общему знамена-

tf(i.p>

Рис. 4.9

телю, получим рациональную передаточную функцию аппроксимирующей модели

r-(p)-Q(p)/7?,,(p).

где Qm и R2N+2 - многочлены аргумента р степени т и 2ff + 2 соответственно, причем m < 2iV -f- 2. Графики относительной погрешности в частной области

W (ш) - W (со)

Е(СВ):

т%

для различных значений и, приведенные на рис. 4.8 при ца = 1, показывают

хорошее совпадение исходной и аппроксимирующей передаточных функций в области существенных частот системы автоматизированного электропривода.

Полученная аппроксимирующая модель (4.23) соответствует цепочке параллельно соединенных звеньев с передаточными функциями IF (р) = cJ /(Р + Р)-Рис4.9.

В качестве второго примера рассмотрим конечномерную аппроксимацию передаточной функции кольцевого распределенно-упругого звена.

Положим для простоты, что 112 = О, тогда согласно выражению (2.20) передаточная функция кольцевого объекта принимает вид

Г (р)

д ch кр sbp + рц, sh р

(4.25)

где q = 1/{2а)-коэффициент передачи кольцевого объекта, а Я, получает смысл выходной пространственной координаты системы.

Пусть частотный дияпазон, в котором осуществляется аппроксимация и где необходимо обеспечить близость исходной и аппроксимирующей частотной

Рис 4.10

характеристики по критерию (4.24), распространяется до четвертой резонансной частоты системы (4.25). Для выполнения этого условия согласно предлагаемой методике в аппроксимирующей модели необходимо обеспечить равенство первых четырех собственных частот и вычетов в них исходной системе.

Пусть имеются следующие числовые значения для передаточной функции (4.25): 9 = 7, Hi = 11, X = 0,4. Численным решением характеристического уравнения находим первые четыре пол.оса системы:

Р±1 = ±/ 1,626: р2==±/4.731; рз = ±7,866; р±4 = ±11,0

и, кроме того, ро = 0.

Известно, что если z = го есть полюс первого порядка функции f{z), то res/(2o) = г(го)/(го), если f(z) =r{z)/g{z) и r(zo) Ф 0. Согласно этому выражению находим, что

, ч gch >Р

(Pi ch р + Hi (ch р -Ь р sh р)

(4.26)

Численные значения вычетов в соответствии с этим уравнением: ао = 0,583 1 = - 0,3; в± 2 = - 0-0423; а± 3 = 0,081; 04 = - 0,018. Подставляя рассчитанные значения полюсов и вычетов в них в выра.-

хение W (р) = У resW (рп)1(Р ~ Рп), после преобразований получим ап-п-N

проксимирующую модель в виде частотной функции:

/ L ш

2т Г-54-

0.018 М

62-0)2

или в виде передаточной функции:

260 ООО + И 700p - 117р< + 2,7р» + 0,024р8 р (446 ООО + 196 000р2 + 12 080р< + 208р5 + р»)

(р) =

(4.27)

(в последних двух выражениях коэффициенты даны с округлением).

На рис. 4.10 сплошной линией показана логарифмическая амплитудно-частотная характеристика, построенная по исходной передаточной функции W (4.25), а штриховой линией - характеристика аппроксимирующей модели W* (4.27). Точность аппроксимации такова, что графически не представляется возможным показать отличие характеристик во всем рассматриваемом частот-ном диапазоне.

4.6. ИДЕНТИФИКАЦИЯ СИСТЕМ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Задача синтеза замкнутых высококачественных систем управления элементами с распределенными параметрами гиперболического типа предъявляет повышенные требования к степени адекватности математической модели, что связано с ярко выраженным различием локальных свойств таких систем как в пространственной, так и во временной или частотной областях. Например, неточность в определении значений собственных частот или демпфирования в них может повлечь не только ухудшение качества системы, но и потерю устойчивости. Между тем, априорное математическое описание механических элементов осуществляется, как правило, в предположении отсутствия внутреннего демпфирования, во-первых, в связи с математическими трудностями, а во-вторых, в связи с отсутствием приемлемой для теории управления методики расчета внутренних потерь. Не только величина демпфирования, но и другие параметры сложных колебательных элементов трудно поддаются расчету и подлежат идентификации. Однако в литературе идентификации систем с распределенными параметрами гиперболического типа уделено недостаточно внимания, а некоторые вопросы, например пространственная локализация измерений, для практического применения не рассматривались вовсе.

В данном параграфе рассмотрим задачу идентификации параметров механических элементов с распределенными параметрами. Так как задача идентификации параметров имеет различные толкования, то уточним исходные определения [21].

Под задачей идентификации параметров будем понимать задачу определения по экспериментальным данным такого набора неизвестных параметров математической модели физической системы, при котором в пределах желаемого диапазона области рассмотрения свойств системы выходные параметры модели будут близки в некотором определенном смысле параметрам самой

системы. При этом предполагается, что и модель, и система подвергаются одинаковым входным воздействиям.

Параметрами являются постоянные или переменные величины, а также функции, в явном виде входящие в математическую модель.

Так как электроприводы имеют ограниченную полосу пропускания, то при решении задачи идентификации механические элементы с распределенными параметрами представляются в , виде той или иной совокупности моделей элементов с сосредоточенными параметрами. llpH этом предполагается, что локальные пространственные переменные в этой модели не учитываются и что среду, заключенную в рассматриваемом объеме, можно считать однородной.

Выше были рассмотрены модели представления механических элементов с распределенными сосредоточенными параметрами. При этом дифференциальные уравнения в частных производных, которыми описываются механические элементы с распределенными параметрами, заменяются на обыкновенные дифференциальные уравнения. Для .ппнейных элементов в комплексной области это означает аппроксимацию (в определенном заданном конечном диапазоне частот) передаточной функции, представляющей собой сложное трансцендентное выражение, на дробно-рациональной передаточной функцией. Естественно, что производить анализ системы и ее синтез, а также рассчитывать переходные процессы для полученной модели гораздо проще и •быстрее, чем для исходной передаточной функции.

Проведем рассмотрение инженерного метода идентификации параметров передаточных функций (частотных характеристик) механических элементов с распределенными параметрами гиперболического типа.

Выбор передаточных (частотных) функций в качестве математической модели определился, наряду с удобством этого аппарата при инженерном синтезе системы, отмеченными выше преимуществами идентификации колебательных систем в частотной области.

Как исходную математическую модель при идентификации системы с распределенными параметрами выберем конечномерную аппроксимацию ее передаточной функции отрезком ряда разложения по элементарным дробям (см. § 4.5). Следует лишь учесть, что в стационарной системе с распределенными параметрами вычеты в полюсах передаточной функции зависят от пространственной координаты, в то время как спектр собственных частот постоянен для любой точки системы. Таким образом, передаточная функция системы с закрепленной точкой входа представляется как

п--N

(4.28) 121

где а„ (А) = res W [р, К)\ Л - координата точки выхода систе-

Р-Рп

Предлагаемый метод идентификации систем с распределенными параметрами по выражению (4.28) состоит из двух этапов. Вначале отыскиваются параметры передаточной (частотной) функции для фиксированной точки выхода системы, т. е. при некотором % = Kk, затем результат распространяется на всю пространственную область путем идентификации зависимостей On = а„{К).

Пусть имеем частотную характеристику системы, снятую между фиксированными точками входа и выхода элемента с распределенными параметрами. Тогда в выражении (4.28) определению подлежат значения полюсов и вычетов в них.

Элементы, описываемые дифференциальными уравнениями в частотных производных гиперболического типа, как правило, являются слабодемпфированными, поэтому в первом приближении полюсы системы можно считать чисто мнимыми, т. е.

р± « = ± /©„, (4.29)

где (On - п-я резонансная частота.

Определение резонансных частот непосредственно по частотной характеристике не представляет сложности.. Таким образом, фактически неизвестными в модели оказываются лишь значения вычетов в полюсах.

Формула (4.28) с учетом (4.29) может быть приведена к более удобному виду. Известно предельное соотношение W{p,)=nmW(p){p-p,),

которое на мнимой оси приобретает вид

a„ = resr(p„)= lim IF (/©)(©-и). (4.30)

Если исходная система имеет нечетный порядок астатизма (практически первый), то при нулевом демпфировании

W (/©) = А (©) ехр [/ ( ± тл)], т=0, ± 1, ...; <7=1. 3. 5.....

и из выражения (4.30) следует, что симметричные вычеты принимают равные и действительные значения. Тогда, объединяя в выражении (4.28) члены с одинаковыми номерами для системы первого порядка астатизма, получаем

W{p) = -f + 2pj]

(4.31)

Аналогично для системы четного порядка астатизма (практически нулевого) имеем

о±п - ± ja„ или ౄ = т /а„ (а„ > 0)

И из (4.28) получаем

п(р)=2 2;

«=1

- sign (Im а„)

(4.32)

Формулы (4.31) и (4.32) могут быть приняты за расчетные, так как содержат собственные частоты только положительных номеров, что соответствует экспериментальной частотной характеристике.

Знак вычета в формуле (4.31) или мнимой его части в /{4.32) может быть определен по виду экспериментальной амплитудной и фазовой частотных характеристик на основании выражения (4.30). В связи с этим отметим одно важное для дальнейшего изложения обстоятельство: если между соседними ре-зонансами число антирезонансов четное, то знаки вычетов (или их мнимых частей) чередуются; если число антирезонансов нечетное- знаки вычетов повторяются. Таким образом, достаточно определить знак вычета по выражению (4.30) лишь для одного полюса и далее для определения знаков у остальных вычетов воспользоваться отмеченным правилом.

Определение величин модулей вычетов является основным этапом идентификации. При этом используется основное свойство модели (4.31) или (4.32), позволяющее принципиально уменьшить трудоемкость расчетов, - ярко выраженное влияние вычетов на частотные свойства идентифицируемой модели. Действительно, частотная чувствительность (4.32), например, по параметру а„

S„„ I = I dW {ju>)/da I = 2(0/(0)2

убывает обратно пропорционально квадрату отклонения частоты от частоты п-го резонанса. Практически влияние an сказывается лишь в частотном диапазоне полюсов п - 1 и п -f 1 (в большей степени в области (п -1)-го полюса), да и то весьма незначительно.

Отмеченное свойство идентифицирующей модели позволяет рассматривать нахождение каждого вычета как независимую задачу небольшой размерности, решаемую в соответствующем частотном диапазоне.

Для определения вычетов в полюсах по экспериментальной частотной характеристике могут быть предложены как инженерные прямые методы, так и более точные, характеризующиеся оптимизационной постановкой задачи. В любом случае свойство локальности влияния вычетов делает процедуру их расчета достаточно элементарной. Не останавливаясь на хорошо известных методах оптимального управления, применение которых в данной задаче не встречает принципиальных трудностей, рассмотрим методику прямого нахождения вычетов, которая, как показывает опыт, во многих случаях обеспечивает необходимую