упругости Е [13]. Направим ось х вдоль стержня и обозначим смещение частиц стержня от положения равновесия через «(л:). Тогда по закону Ньютона для элемента длины стержня dx

можно записать

\x+dx

(1.1)

где т(дс)= pds -масса единицы длины стержня; g(x) - о

= Eds - упругость единицы длины. Переходя к пределу, из

выражения (1.1) получаем

Для линейного механического элемента с распределенными параметрами величины m и g не зависят от сечения х, и поэтому последнее уравнение принимает следующий вид: .

(1.2)

rjxe a==g/m = Е/р. Уравнение (1.2) является одномерным волновым уравнением одномерной модели, а параметр а - скоростью распространения волны.

Уравнение, аналогичное (1.2), можно вывести для механического элемента с распределенными параметрами, испытывающего крутильные колебания [34]:

где ((i{x,t) - угол закручивания сечения элемента вокруг продольной оси. при этом а = л/01р/1; G -модуль сдвига; /р - полярный момент инерции поперечного сечения элемента; / - момент инерции единицы длины элемента. Волновые уравнения (1.2) и (1.3) относятся к важному классу уравнений математической физики - к дифференциальным уравнениям в частных производных гиперболического типа.

Для однородных граничных условий будем искать решение уравнения (1.2) в виде бегущей волны:

u = Acos{(i)t - kx),

где to - собственная частота; k - волновое число.

Подставив это решение в уравнение (1.2), получим зависимость между величинами а и k:

& = ak. (1.4)

Известно [17], что функциональное соотношение F((o, fe)=0, связывающее собственную частоту с волновым числом, назы-

вается дисперсионным уравнением, а зависимость (й = /(), получаемая из этого уравнения, - законом дисперсии. Определив закон дисперсии, можно вычислить фазовую скорость волны c(k) = (u/k и групповую скорость с = da/dk.

Выражение (1.4) можно записать в виде со==±аЛ (знак «±» обозначает существование двух семейств волн). Заметим, что элемент, описываемый уравнением (1.2), не обладает дисперсией, и поэтому фазовая скорость не зависит от частоты. Отсутствие дисперсии означает, что волна любой формы и = = f{t ±1 х/а) распространяется без искажений. При этом фазовая и групповая скорости постоянны и равны с = С ± о.

Поскольку волновые системы (1.2) и (1.3) не обладают дисперсией, то предположение о синусоидальном характере общего решения этих уравнений несущественно. Решением для уравнения (1.2) будет произвольная функция вида u = F(x - - at), а также и произвольная функция от x-\-at. Их суперпозиция дает

u = F{x-a() + G{x + at).

(1.5)

Функции F к G должны быть дважды дифференцируемы, а в остальном они могут быть совершенно произвольны.

Выражение (1.5) представляет собой общее решение уравнения (1.2). Это означает, что любое решение уравнения (1.2) может быть представлено в виде соотношения (1.5). Такое представление не вполне однозначно, поскольку к функции F можно добавить произвольную постоянную и вычесть ее из G, не изменяя решения (1.5). Чтобы показать, что (1.5) является общим решением, получим его непосредственно [17]. Введем вместо X и t новые координаты: t, = x - at, r\ = x-\-at. Тогда уравнение (1.2) примет вид -4adu/dt,dr\ = 0. Интегрируя это уравнение по ц, получим

du/dZ = FЦ).

(1.6)

Произвольная «постоянная», возникающая при интегрировании по т, в действительности является произвольной функцией , которую мы обозначили через FCQ. Интегрируя выражение (1.6) по 5, получим ы = f (5)+ G(tj), т. е. решение в виде, идентичном выражению (1.5).

Рассмотрим теперь вопросы, связанные с начальными и граничными условиями для однородного элемента с распределенными параметрами, описываемого уравнением (1.2). В типичной задаче с начальными условиями требуется найти решение уравнения (1.2) элемента для / > О, если заданы значения переменных u{x,t) и du(x,t)/dt в момент времени t = Q. Используя общее решение (1.5), можно записать

u(x,0) = F{x) + G{x);

S д dF{x) dGjx)

(1.7) (1.8)

Чтобы получить решение, необходимо определить функции F и G, а для этого надо знать два начальных условия. Интегрируя выражение (1.8), получим

-dx.

(1.9)

(1.10)

Произвольная постоянная интегрирования не влияет на решение. На основании уравнений (1.7) и (1.9) можно определить функции F к G:

2F(x) = «(-.0)-i-5dx;

2G(x) = «(-.0) + Sd..

При бесконечном интервале изменения координаты х выражения (1.10) определяют функции F и G на всем интервале х и полностью задают решение. Если же интервал изменения х ограничен, то необходимо задать граничные условия. Пусть О л- < оо. В этом случае F и G определяются выражениями (1.10) только при положительных значениях их аргументов. При t > О аргумент функции G всегда положителен, поэтому функция G полностью определена. С другой стороны, аргумент функции F отрицателен при > О в некотором интервале х и поэтому F не определяется выражением (1.10). Недостающая информация получается заданием и, du/dt или ди/дх как функций времени на границе л; = 0. Полагая, что задана функция ы(0, t), получаем

/г( at) = u(0,t)-G{at).

(1.11)

Это соотношение определяет F для отрицательного аргумента через известные функции, и, таким образом, получается полное решение. Когда «(О,/) = 0, т. е. граничное условие однородно, то решение имеет вид и{х, t)= G(x + at)-G{at - x) для X <i at.

В механических элементах электропривода интервал х ограничен и поэтому необходимо ввести второе граничное условие. Граничными точками для однородного механическогоэлемента с распределенными параметрами являются точка х = 0 (точка приложения управляющего воздействия к элементу) и точка х = 1 (точка соединения элемента с исполнительным органом). Здесь через / обозначена длина однородного элемента с распределенными параметрами. Для интервала О л: < / функции F и G определены только при значениях их аргументов, лежащих в этом интервале. Граничное условие при х = 0 позволяет определить F для отрицательного аргумента с помощью соотношения типа (1.11). Если же задана функция u{l.t), то соотношение

G(l + at) = ui}, t)-F(l-at)

позволяет определить G для значений ее аргумента, больших, чем /. Пусть «(О,/) = «(/,/) = О, тогда из выражений (1.11) и (1.12) следует, что

G{l + at) = -F(l-at) = G{-l + a{).

В этом случае функции F и G периодичны с периодом 2/, а все движение периодично во времени с периодом 21/а. Соответствующая угловая частота а)о = л;а . Эта частота называется фундаментальной частотой элемента с распределенными параметрами. Она соответствует волнам длиной 21, т. е. длина элемента составляет половину фундаментальной длины волны.

Рассмотрим однородный механический элемент с распределенными параметрами длиной / и будем считать, что один конец его жестко закреплен, а другой - свободен. Граничные условия в этом случае будут иметь вид

«(0,0 = 0; du{l,t)/dx = 0. (1.13)

В элементе конечной длины бегущие волны будут отражаться от его концов, и в результате суперпозиции встречных волн образуется стоячая волна. В общем случае при произвольных начальных условиях стоячая волна представляет собой сумму волн с различными частотами. Каждая из таких волн называется собственной формой элемента, а соответствующая ей частота -собственной частотой.

Найдем собственные частоты и собственные формы продольных колебаний в механическом элементе с распределенными параметрами, описываемом уравнением (1.3). Это уравнение относится к уравнениям с разделяющимися переменными (33J. Частное решение этого уравнения ищется в виде

u(x,t)y{x)T{t). (1.14)

Решение (1.14) описывает стоячую волну. Подставляя (1.14) в уравнение (1.2), получим обыкновенные дифференциальные уравнения для функций T{t) и у{х):

«2

(1.15) (1.16>

В эти уравнения входит неизвестный параметр Я, который необходимо определить таким образом, чтобы уравнение (1.16> с граничными условиями

У{0) = 0, dy{l)ldi = Q, (1.17)

получаемыми подстановкой соотношения (1.14) в (1.13), имело нетривиальное решение. Из уравнения (1.15) видно, что параметр Я имеет смысл частоты колебаний.

Решение уравнения (1.16) имеет вид у{х) = А sin kx + В cos kx,

где k = ©/а; со ==

Чтобы удовлетворить граничным условиям (1.17), надо положить В = 0, со = (о„ = (2п-1)ла/(2/), где п - любое целое число. Величины (Ол являются собственными частотами рассматриваемого элемента, а функции „ (л:) = sin (сй„л:/а)-собственными функциями (формами). Можно заметить, что собственные функции уп(х) ортогональны между собой [35J, т. е.

D Уп{х)УтМс1х=6,,п.

где D - нормировочная постоянная.

Составим уравнения динамического равновесия конвейерной ленты при пуске горизонтального ненагруженного конвейера [18].

На рис. 1.2, а представлена кинематическая схема механической системы с распределенными параметрами - ленточный

5) гп 5 "-1

s-1-ds

Рис. 1,2

горизонтальный конвейер. Будем считать, что сопротивление • движению ленты по роликам на единицу длины постоянно и не зависит от скорости движения и натяжения ленты. Будем также полагать, что агрегатная жесткость конвейерной ленты £о есть величина постоянная, не зависящая от ее натяжения.

В качестве расчетной примем схему, изображенную на рис. 1.2,6. Упругий элемент, эквивалентный конвейерной ленте длиной / (длина контура ленты), соединен на одном конце с массой /Лд двигателя, на другом - с массой натяжного устройства mz- Элемент подвергается внешнему пусковому воздействию /д и распределенному возмущающему воздействию Wp = = pgfpdx, где р - плотность элемента; g - ускорение свободного падения; }р-коэффициент сопротивления движения ленты по роликам.

Для составления дифференциального уравнения данного элемента с распределенными параметрами выделим его элементарный участок (рис. 1.2, е). На этот участок действуют силы s и S + натяжения ленты, инерции 5ин и распределенного со-

Противления Wp. Уравнение равновесия сил на элементарном

участке

ds - s„„ - 1Гр = 0.

Заметим, что ds = -dx; s„„ = pdx, где v ди/dt - скорость деформации ленты; ы -упругая деформация ленты. Тогда

Вторым уравнением, описывающим этот элемент, является закон Гука s = Eo~.

Кроме этих двух основных уравнений, необходимо составить уравнения граничных условий. Для конца элемента с распределенными параметрами, соединенного с электродвигателем, имеем

"л dt

-f - Sc6 =

где первый член суммы есть приведенная сила инерции двигателя; Уд - скорость приводного барабана; $нб и Scg - усилия в элементах в точках набегания и сбегания с барабана; - управляющее воздействие двигателя. При этом

В общем случае Va¥=v = du/dt. Однако в большинстве случаев при исследовании пуска конвейера пренебрегают разницей между и и Уд и считают, что сила сцепления ленты с барабаном настолько велика, что Vл ~ v.

Наконец, уравнение граничного условия на втором конце

элемента

Шд dv

2 dt

\x=0

где V - скорость ленты в

точке приложения массы натяжного устройства.

До сих пор не учитывалось рассеяние энергии при колебаниях элементов за счет сил трения. Реально колебания механических элементов с распределенными параметрами происходят с затуханием. В этом случае динамика элемента с продольными колебаниями будет описываться не уравнением (1.2), а уравнением

dt"

dx"

= 0.

где р - декремент затухания. Второй член в последнем уравнении характеризует случай линейного затухания, когда тормозящая сила пропорциональна скорости смещения сечения хК Хотя это уравнение не позволяет получить непосредственно

Здесь и далее под смещением сечения и{х) будем обозначать смещение каждой точки поперечного сечения элемента с координатой х от положения равновесия.