ЭЛЕКТРОПРИВОДЫ

Зарождение и развитие новых направлений исследований вызывается двумя факторами: фактором обособления и фактором обобщения. Особенностью обобщающих дисциплин является изучение общих закономерностей явлений, протекающих в весьма широком классе объектов. Обособление научных дисциплин возникает под влиянием открытия новых объектов исследования и возникновением специфических научных направлений, глубоко изучающих узкий класс явлений. Именно в результате такого процесса обособления и возникла целая отрасль научно-технических знаний, именуемая теорией электропривода. С момента , своего становления предметная область этой теории включала в себя систему управления, двигатель и объект управления. Содержание этих трех понятий существенно менялось с течением времени. Однако наиболее важные перемены произошли в теории электропривода, когда вследствие усовершенствования систем управления и расширения полосы пропускания электропривода в целом встал вопрос о необходимости более полного учета характеристик объектов управления. Если ранее для проектирования электропривода было необходимо знать только один параметр объекта управления, каковым являлся его момент инерции, то в настоящее время трудно представить себе инженера, который бы в своей практической деятельности не учитывал бы упругие характеристики механических элементов и узлов, приводимых в движение электродвигателем. Однако учитывать упругие характеристики объектов управления можно различными способами.

Конструктор и инженер, разрабатывая новую систему электропривода, должен принимать оптимальные технические решения как по объекту управления в целом, так и по согласованию характеристик отдельных элементов между собой. Анализ процесса проектирования показывает, что каждое решение принимается в результате выполнения операций выбора и расчета. Значение этих операций зависит от полноты информации об условиях работы проектируемого объекта, об элементах, из которых он должен состоять, и о возможных комбинациях этих элементов в реальной конструкции. Чем полнее информация, том большее значение в принятии технического решения имеет

выбор. Даже при правильном выборе очень важно произвести детальный расчет, который и должен дать недостающую информацию о возможных вариациях в поведении объекта управления.

По мере роста требований, предъявляемых к точности и производительности проектируемого оборудования и, следовательно, к жесткости элементов, скорости рабочих перемещений, уровню колебаний, величинам динамических сил в переходных режимах, развиваются и совершенствуются расчетные методики, используемые при проектировании. По мере совершенствования и усложнения расчетных методик усложняется и применяемый для их построения математический аппарат: от простых алгебраических формул к системам алгебраических уравнений, от них -к системам дифференциальных уравнений и т. д. Это значит, что каждому виду расчета соответствует своя математическая модель. Именно математическая модель является тем инструментом, с помощью которого можно получить необходимую информацию для принятия технического решения.

В книге в качестве базовой математической модели выбрано описание объектов управления дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа, что соответствует распределенности основных параметров, характеризующих свойства механизма, приводимого в движение электро- ✓ приводом. Таким образом, электроприводы рассматриваемого класса представляют собой электромеханические системы, в которых главные переменные связаны соотношениями или преобразованиями, зависящими как от времени, так и от локальных пространственных перемещений отдельных механических элементов.

Строго говоря, все реальные физические динамические объекты являются системами с распределенными параметрами. Не является в этом смысле исключением и электропривод. По существу выбор для исследования сосредоточенной или распределенной модели определяется областью функционирования исследуемой системы, ее основополагающими характеристиками в заданной области параметров. Модель, имеющая сосредоточенные параметры, явно имеет более простое математическое описание, и естественно стремление инженеров ее использовать в как можно более широкой области. Именно поэтому сначала возникли двухмассовые модели, затем трехмассовые, затем многомассовые. Однако когда число масс в исследуемых моделях объектов управления возросло до 20, а степень приближения динамических характеристик модели и объекта все равно оставляла желать лучшего, стал необходимым качественный скачок в представлениях об объекте исследования, т. е. возникла потребность в качественно иной модели, которая позволила бы в более общей форме отразить основные особенности механических элементов электропривода. Важным критерием для оценки действенности новой модели должна была быть

компактность математического описания для объектов разноха» рактерных и разноплановых. Всем этим требованиям в наиболее полной мере удовлетворяет модель, учитывающая распределенность параметров объектов управления.

В книге рассматриваются некоторые вопросы теории линейных стационарных систем автоматического управления электроприводами, содержащими механические элементы с распределенными параметрами. Эта теория основывается на понятии передаточной функции механических элементов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, и представляет собой обобщение обычных методов анализа и синтеза систем управления электроприводами на системы с распределенными параметрами. Изложение ограничено системами, в которых распределенное воздействие отсутствует, что приводит к двухточечной задаче и значительно упрощает определение основных характеристик системы.

Учитывая большую популярность у научно-технических работников частотных методов анализа и синтеза систем управления электроприводами, авторы сочли возможным взять за основу именно этот подход к расчету систем, что позволило сделать изложение достаточно стройным и компактным.

Глава первая

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Все реальные системы содержат в том или ином виде распределенные параметры. Однако далеко не во всех системах возникает необходимость их учета и, естественно, еще реже встречаются объекты с превалирующим влиянием распределенных параметров. При этом в зависимости от поставленной задачи для одной и той же системы могут быть разработаны различные типы моделей, которые отражают в большей или меньшей степени ее основные характеристики. Очевидно, что эффективность модели будет тем выше, чем выше ее точность, больше вероятность получения новых результатов, выше производительность и чем проще модель.

Именно поэтому за основную, базовую модель, рассматриваемую в книге, взята математическая модель объекта управления, описываемая дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа.

Поскольку нас интересуют электромеханические системы, описываемые уравнениями гиперболического типа, то в даль»

нейшем будет проведена классификация только подобных систем, модели которых до настоящего времени не имели строгой классификации. Естественно, что на разных ступенях исследования могут быть использованы не только обобщенная исходная модель, но и некоторые вторичные модели, которые уже несут только ту информацию, которая необходима для конкретного исследования. При этом для одной первичной модели можно построить несколько вторичных, поскольку каждая из последующих будет содержать лишь некоторую часть информации о свойствах системы. Желательно в качестве вторичных использовать уже известные, разработанные модели, что позволит обеспечить преемственность и сопоставимость полученных результатов.

Несмотря на значительное многообразие вторичных моделей электромеханических систем, их можно разбить на два больших класса. К первому классу относятся модели, которые представляют собой скалярные функции в некоторой области пространства параметров и отражают зависимость числового значения некоторого функционала от параметров системы. Подобное разбиение широко используется, в частности, в теории управления для классификации систем одного вида по показателям качества.

Ко второму классу относятся модели, осуществляющие разбиение некоторого дискретного множества точек в пространстве параметров на непересекающиеся области. Непересечение является, конечно, условным, но важным элементом классификации.

Заметим здесь, что критерий классификации не обязательно должен иметь математическое выражение, он может быть сформулирован словесно. Именно словесная интерпретация критериев классификации предпочтительнее, так как в этом случае можно в более компактной форме дать основные отличительные черты объектов управления и условия их функционирования. Количество же признаков, граничные значения и их область использования устанавливаются в соответствии с назначением системы и особенностями ее работы.

Следует также помнить, что в книге рассматриваются не произвольные электромеханические системы, а автоматизированные приводы, которые представляют собой особый класс систем управления, имеющих подсистемы с сосредоточенными и распределенными параметрами и взаимным влиянием этих подсистем друг на друга в процессе работы.

В качестве классификационных признаков для автоматизированных электроприводов с распределенными параметрами целесообразно выбрать структуру механического элемента с распределенными параметрами, вид его упругих деформаций и вид граничных условий (рис. 1.1).

В зависимости от структурных свойств элементы с распределенными параметрами можно разделить на три типа: стержневые, кольцевые и разветвленные, состоящие из нескольких

элементарных звеньев, соединенных различными способами. В электроприводе наиболее широкое применение нашли элементы первого типа: канаты лифтовых подъемников и буксируемых систем, колонны бурильных труб, длинные кинематические передачи, выносные штанги промышленных роботов и манипуляторов, валы, трубы и т. д.

В качестве примера объекта с кольцевой структурой можно назвать кинематическую передачу привода подачи манипулятора

ЭлеитроприШы с распределенными параметрами механических злементоЬ

Упругие detpopmauuu элемента

Граничные }/сло8ия

>51

S --is

S t-j

Рис. 1.1

ДЛЯ производства крупногабаритных деталей, где для обеспечения продольных перемещений используются замкнутые в кольцо канаты или цепи. К системам третьего типа относятся разнообразные приводы испытательных стендов и промышленных роботов со сложными рамными и разветвленными конструкциями. В зависимости от конструктивных параметров структура механической части системы может быть представлена, по крайней мере, четырьмя способами: в виде системы упругих обладающих инерцией пластин, связанных между собой шар-нирно через невесомые пружины, поверхностно, или линейно распределенные упругие связи, находящиеся под действием пространственной системы распределенных и сосредоточенных сил; в виде системы упругих стержней, связанных между собой шар-нирно через невесомые пружины или линейно распределенные упругие связи и находящихся под действием распределенных и сосредоточенных сил; в виде системы твердых тел, обладающих инерцией, связанных между собой невесомыми пружинами и находящихся под действием сосредоточенных сил; в виде системы материальных точек, наделенных инерционными свойствами и связанных между собой невесомыми пружинами. Возможны и различные комбинации из этих элементов, однако су щественно то, что представление структуры одним из этих че-

тырех способов оказывается решающим шагом на пути создания математической модели.

Механические элементы с распределенными параметрами первого и второго типов по числу координат распространения упругих деформаций относятся к пространственно одномерным объектам. Они испытывают в процессе работы электропривода один из следующих видов деформаций: продольные или поперечные изгибные колебания либо крутильные колебания. Некоторые элементы сложных конструкций могут испытывать одновременно несколько видов упругих деформаций, в частности поперечный изгиб и крутильные колебания.

Если инерционные характеристики двигателя и объекта управления малы по сравнению с соответствующей инерционной характеристикой механического элемента, то можно сказать, что последний удовлетворяет однородным граничным условиям. В противном случае необходимо строить математическую модель электромеханической системы при неоднородных граничных условиях. Подобная модель наиболее полно характеризует процессы, происходящие в системе, но решение уравнений, ее описывающих, далеко не всегда возможно в замкнутой форме.

Естественно, что возможны и иные принципы классификации систем с распределенными параметрами. Однако для целей электропривода данная классификация является достаточно полной и позволяет эффективно решать задачи построения моделей систем и проводить их анализ и синтез.

1.2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Основными характеристиками механических элементов с распределенными массой и упругостью являются собственные частоты (собственные значения) и собственные формы (собственные функции) [13]. Вычисление собственных частот необходимо производить, в частности, при исследовании устойчивости электропривода с распределенно-упругими механическими элементами. Для однородных одномерных механических элементов определение собственных частот и собственных форм является несложной задачей [28]. При неоднородных граничных условиях либо при высоком порядке дифференциального уравнения системы эта задача существенно усложняется и часто вообще не может быть разрешена без применения вычислительных машгн.

В этом параграфе приводятся уравнения некоторых наиболее распространенных в электроприводах типов линейных одномерных механических элементов с распределенными параметрами.

Элемент первого типа - механический элемент с продольными колебаниями. Рассмотрим распределенио-упругий элемент с поперечным сечением s, плотностью материала р и модулем