где Р{= («=1.2.....П),

Введем обозначения

0.

«ti

и перепишем систему (9) в виде одного матричного уравнения

X = ох + 3.

(10)

Здесь ох - произведение матрицы а на вектор х.

Последовательные приближения (итерации) найдем следующим образом. Возьмем в качестве начального приближения х**- вектор р

и подставим его в гфавую часть уравнения (10); получим х. Продолжая аналогичные вычисления, придем к векторной последовательности приближений:

х(= ах<о) + р

х2= са

первое приближение, второе приближение.

:ii)

{к+1)-в приближение,

Если существует предел С последовательности векторов х", то,

переходя к пределу в равенстве х"= ах + р при к •* <х>, убеждаемся, что С является решением уравнения (10), т.е.

Достаточные условия сходимости итераций к решению содержит следующая теорема.

Теорема. Если какая-либо норма матрицы меньше единицы: а < 1, то уравнение (10) имеет единственное решение , к которому стремится последовательность итераций (11) при любом выборе

начального приближения х

В расчетах полагают х- Р> Погрешность приближенного решения уравнения (10) на k-ы шаге оценивают неравенством

Из неравенства (12) можно получить оценку числа итераций й, необходимых для обеспечения заданной точности е.

Отклонение приближения х*-* от решения £ по норме не будет превышать 8, если

1-а l-ilaH

Неравенство (13) дает обычно завышенную оценку числа итераций к. В оценках (12), (13) одновременно используются согласованные нормы для матриц и векторов (т- и Z-нормы).

Из неравенств (13) видно, что условие, позволяющее принять

приближение х в качестве решения с точностью е, можно представлять в следующей удобной для вычислительного процесса форме:

„,(!.) ,(1.-1)1 Н! е. (14)

Пример 1. Найти решение системы уравнений

5х - + 2.х. = 8,

методом итераций с точностью 10 . Решение. Приведем данную систему к виду (9):

= ОДГ + 0,2X2 ~ 3 »» = -0,25х + OXg + 0,25X3 " Xj = -0,25х - 0,25X2 + ОХ + 1.

Теперь запишем последовательность итераций (й = 0,1,2,...)

= -0.2&r{*>- 0.2&с*) + 0.х*>+ 1.

Для приведенной матрицы

Г О 0.2 -0,4 1 -0,25 О 0,25 L-0,25 -0,25 О

достаточное условие сходимости процесса итераций выполняется по щ-норме, поскольку

а = тш1 i Y \а, Л } = max f0,6; 0,5; 0,5} = 0,6 < 1.

l<i<3 J=1

В качестве начального приближения возьмем вектор-столбец свободных членов приведенной системы:

Г 1.6 1

(0)

-1 1

Число итераций для достижения заданной точности е=10 определим из неравенства -7 ПРИ которое перепишем так:

-2 + Ig 0,25

Ig 0,6

- 1 11.

Здесь учтено, что а- 0.6; = ййт=

Вычислим теперь три последовательных приближения по формулам (15) и оценим погрешность каждого результата, используя неравенство (13) в виде