можно сделать второе уравнение разрешающим и применить описанную процедуру к системе из п-1 уравнений, исключив неизвестное из третьего и последующих уравнений. Получим систему вида

1 «12 2 * «13 3 ••• * «1п n *

X + ax + + а<2)г - ь2) 2 + + ... + - 2

пЗ 3 пп п п

где - /022 - /а , - «з - «2 «32 *

nj п2 °j - °2 «2

Продолжая аналогичные вычисления, приведем систему (3) к эквивалентной системе

n n ,

в которой матрица из коэффициентов имеет треугольный вид.

На этом заканчивается прямой ход решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

При обратном ходе происходит последовательное исключение неизвестного х, начиная с (а-1 )-го уравнения и заканчивая первым. Получаем

х + азз + Xj +

«2!п-1п-1

= b<--J),

n-1 n n ,

Затем исключаем неизвестное х из уравнений с номером J и = п-2,...,1) и т. д. Приходим к системе, аналогичной (2). Вычисления заканчиваются решением системы, имеющим вид

х =b<:j»-4

n-j - п-3

п-2 ° Т1-2

Tl n

Для уменьшения погрешности вычислений существуют различные модификащш метода Гаусса. Одна из модификаций метода Гаусса с выборе»! максимального элемента по столбцу состоит в следующем.

В начале первого шага прямого хода среди коэффициентов а (t=1,2,... ,гг) при неизвестном д: находят наибольший по модулю. Предположим, что это а. После этого в исходной системе (3)

можно произвести перестановку: первое уравнение можно поставить на место J-ro, а J-e на место первого. Далее вычисления проводят в описанной ранее последовательности.

В начале второго шага прямого хода максимальный по модулю элемент выбирают среди коэффициентов а (i = 2,3,...,гг) при

неизвестном Xg, снова возможна соответствукщая перестановка и

исключение неизвестного х, начиная с третьего уравнения, и

т. д., вплоть до последнего шага прямого хода в методе Гаусса.

Заметим, что процедура прямого хода в методе Гаусса может привести не к треугольной матрице типа (6), а к двум другим случаям:

1) число преобразованных уравнений системы меньше числа неизвестных (это происходит, есж в процессе преобразований получаются тождества 0 = 0)- тогда система имеет бесконечное множество решений;

2) все коэффициенты при неизвестных в каком-либо уравнении равны нулю, в то время как свободный член уравнения отличен от нуля - тогда система не имеет решения.

Ткфашювия

Методом Гаусса репшть системы линейных алгебраических уравнений = Ъ. Сравнить с точным решением .

1. i =

2. 4 =

3. 4 =

4. 4 =

5. 4 =

2 О -1 3 1 -1

О -3 1

3 -2

1 -4

1 ;

-3 2 3

-5 5 1

-1 5

-3 J

6 1 9

-2 -4 2

1 3 -5

7 7 11