ГЛАВА 2

МЕТОДЫ Ч1СЛКНН0ГО РНПЕНКЯ dCTBI ЛШПЯа АЛПШРАНЧВСКИХ УРАЕНЕНП

§1. МЕТОД ГАУССА

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) сначала на примере. Пусть требуется решить систему уравнений

поясним

5х - + 2Xj = 8, + 2 + 4Л7 = 4.

Исключим сначала неизвестное Л7 из второго и третьего уравнений системы (1), используя первое уравнение.

Уравнение, с помощью которого преобразуют остальные уравнения, иногда называют раарешашцим уравнением, а коэфвщиент этого уравнения при неизвестном, исключаемом из остальных уравнений, - разрешающим (или главным) элементом. В данном примере первое уравнение (или первая строка) - разрешающее, а коэф-фициент 5 при х в этом уравнении - разрешающий элемент.

Разделим первое (разрешающее) уравнение на 5 и вычтем преобразованное первое уравнение из второго и третьего уравнений системы (1). В результате получим систему, в которой неизвестное х исключено из второго и третьего уравнений:

21 „ 5-2

Б -3 18

28 5-

12 5~

Теперь второе уравнение будет разрешающим с разрешающим элементом 1. Разделим второе уравнение на 1 и вычтем преобразованное второе уравнение, умноженное на . из третьего уравнения, исключая тем самым неизвестное х в последнем уравнении. Получим систему

х - 5 2 + 5 3 =

2 ~ 3 3 " 3

8 5»

4 1.

Проведенную последовательность преобразований данной системы называют пряшм ходом в методе Гаусса. Обратный ход - это последовательное исключение неизвестных и х из второго и первого уравнений.

Умножим третье уравнение на (- ) и вычтем его из второго, затем умножим это же третье уравнение на и вычтем его из первого. Получим

1 5 2

- 5 = - 1.

Далее умножим второе уравнение на (- ) и, используя это

уравнение, исключим неизвестное х из первого уравнения. Окончательно имеем

= 1, = -1.

х = 1.

Решение последней системы очевидно.

Пусть дана система из п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными:

Г ах + ах + ... + ах = Ь,

«211 + «222 + ••• + «2пп = 2

«п11 + «п22 +

. + ах = b

пп п п.

Решеввем системы (3) называется упорядоченное множество чисел

п~п превращает уравнения

если подстановка х=, Xglg

(3) в равенства. Решение системы представляет собой п-мерный вектор, который обозначим через С-

Рассмотрим теперь более общую схему метода Гаусса для систем, имещих единственное решение.

Предположим, что а 0. В противном случае можно поменять местами первое уравнение с уравнением, в котором коэффициент при неизвестном отличен от нуля. Разделим первое уравнение системы (3) на а. Оно примет вид

= 0,(1)

+ а.

In n

Умножим разрешающее уравнение (4) на и вычтем полученное

уравнение из второго уравнения системы (3). Аналогично преобразуем остальные уравнения. В результате этих операций система запишется так:

22 г 23 3

п п

TlTl Tl п

где aj] = а - а\] а, а] а - а]

Естественно, что если какой-либо из коэффициентов а окажется равным нулю, то J-e уравнение системы (3) войдет в систему (5)

без изменений, т.е. а

(ft=2,3.....n).

Теперь, оставив без изменения первое уравнение системы (5),