Рис.8

x(t) = t на отрезке С0,1]. Действительно,

,х)= jx*-xj = max t + t

- t\ = max

\-t-t\

= max

o<t$i 1 +k+t

2 2

<- 0 при

Otl 1+fe+t

t -» 00.

0<t<1 1 + +t 1 + Й

Ha рис.8 показано взаимное расположение предельной функции J7(t)=t и некоторых членов последовательности xUt) на СО,11. «

Оп-ребедение. Говорят, что последовательность функций {J*4t)} (=0,1,..) сходится в среднем квадратичном к функции xit) на отрезке [а,Ь], если расстояние мевду общим членом последовательности xUt) и функцией x{t) стремится к нулю при й - оо по квадратичной норме, т.е.

11т d{xKx) 2= llm

{xht)-x{t))<lt = 0.

Заметим, что из равномерной сходимости последовательности

функций (xUt)} к функции x{t) на отрезке [а,Ь] следует ее сходимость в среднем квадратичном к функции x(t) на Са,Ы: b

из неравенства

{xUt)-xit))(lt < max {xht)-x{t))ib-a)

видно, что если d{x \х) утверздение неверно.

,Q О, то и dixKx) 2 * 0. Обратное

Пршюр 4.

kt Ukt

Показать, что последовательность функций (й«1,2,...) сходится к функции x{t)s на отрезке

[0,1] в среднем квадратичном, но не сходится к ней равномерно.

Решение. Вычислим расстояния мезвду xht) и x(t) по квадратичной и равномерной нормам:

(Ukt у

k{+kt

1 1

. k{Uk) к

О при й - 00 (сходится в среднем);

d(x*37)p = max

kt Ukt

= max

= Q при ft - 00

(последовательность не сходится равномерно к функции x{t)=).

На рис. 9 изображены графики функций x(t)=1 и х(t)=fet/(l+fet). Очевидно, что в окрестности точки t=0 для любого номера ft функции-члены последовательности не приближаются к предельной функции на [0,1] (не входят в е-окрестность по равномерной норме). ,

;-r(t)si

1+ftti

о 1 t

Риа.9

Уиршшвввя

1. Найти пределы последовательностей векторов и матриц при

4fe 10ln ft n

; в)

-24 1

2. Исследовать на равномерную сходимость последовательности

функций xt):

sin kt kt

a) - (OtTc; ft=1,2,...); 6) -5- (0<t$1; ]?=1,2,...)

t2+ L. (-oo<t<c»; ft=1,2,...); Г) -(0t1; ft=1,2,...)

Д) - (Oai; le=i,2,...); ft

Jl+ftt

(0t1; ft=1,2,...)

3. Найти пределы последовательностей в среднем квадратичном:

а) t* mtM ft=1,2,...);

\ukt

mtV, ft=1,2,...)

4. Показать, что последовательность функций x*(t) сходится в среднем квадратичном к предельной функции x{t):

а) x*t) = mti; ft=l,2,...), J7(t) = 1 (OtD;

6) xht) = l-t* 1e=1,2,...), xit) = 1 (-Kti);

B) z*t)

-1, -1 t 1/ft; ftt, -1/ft t $ 1/ft; x(t) = 1, 1 /ft < t < 1;

(ft=1,2,...).

•-1, -1 < t < 0; . 1, 0 < t 1;