Творена 1. Последовательность векторов (1) сходится (по т-, 2-, й- нормам) при ft - 00 к вектору а тогда и только тогда, когда существуют пределы числовых последовательностей координат векторов х*:

а. = 11т хК ар= 11т х\..,, а = llm хК

т.е. сходимость последовательности векторов (1) равносильна покоординатной сходимости этих векторов. Пример 1. Показать, что последовательность векторов

Г 1 - (1/й) 1

1 + (1/й) L 3 + (1/к) J

сходится к вектору а =

L 3 J

Для любого е > о найти номер, начиная с которого для всех членов последовательности векторов х* выполняется неравенство

d(x(\a)= х() -

Решение, На основании теоремы 1 сходимость последовательности ве-

кторов X

к вектору а следует из того, что существуют пределы

1 V .1ч

а.= 11т х!.=г llm ft - - "1= i, lUn j7*)= iim Г 1 + -

k~*<0

a= llm x\= llm

= О, a.= llm X.

Гз + -

- к

= 3,

Кроме того, х*-

r-1/й 1 Uk

-2/J? L 1/ft .

m "

= max

.11 2 1л 2

< -, -, - \ = - < e; тогда для любого e > О рас-

стояние d(x*\a) < е, начиная с номера к > (в частности,

если S = 10", то 1е > 40000). щ

В линейном нормированном пространстве матриц размера справедлива теорема, аналогичная теореме t.

Глава 1. JbiHeftHoe нормированное пространство

Теорема 2. Пусть в пространстве матриц М задана последовательность матриц {АЪ:

гп(1) ,,(1)

(1)-.

11 «12 ••• «1т

«21 «22

«2

«п1 «п2 ••• «nm

Последовательность (2) сходится (по т-, I- или ]г-норме) к мат-

рице

11 «12 ••• «1т

«21 «22

...а

а . а ... а

п1 п2 nm

тогда и только тогда, когда последовательности элементов а матриц 4** сходятся к соответствуицим элементам а матрицы А

11 Т1 12 12 ij nm nm

2*. Сходимость последовательностей непреривных гнкций

Пусть на отрезке [а.Ь] определена последовательность непрерывных функций:

xUt), xht)..... xht), ... (3)

Определение. Говорят, что последовательность фзгнкций ix\t)} (й=1,2,...) сходится в точке € 1а,Ъ], если существует предел числовой последовательности {xhtg}}.

Определение. Последовательность (3) сходится поточечно к функции x(t) на отрезке Са,Ь], если она сходится в каящой точке этого отрезка к значению функции xit). Иначе, если для V е > О 3 K(6,t) такое, что V й > K(e,t) выполняется неравенство

\xht)-x{t)\ < S (t е [а,ЬЗ).

xit) =

Рис.6 Рис.7

Ijmiep 2. Последовательность степенных функций t, t...,t...

сходится поточечно на отрезке [0,1] к разрывной функции (рис.6)

0 при О t < 1;

1 при t = 1. и

Определение. Говорят, что последовательность функций ix-U,t)} сходится равнсжерно к функции xit) на отрезке ia,b}, если расстояние мевду общим членом последовательности xit) и функцией xit) стремится к нулю при й -* оо по равномерной норме, т.е.

llm dixKx) = llm max \xht)-xit)\ = 0.

Иначе говоря, для V e > О 3 й(е) такое, что для V й > й(б) и

для V t с [а,0] выполняется неравенство 2ht)-j:(t) < е или, начиная с некоторого числа К is), выполняются соотношения

xit) - 8 < Xht) < Xit) + 8.

Геометрически это означает, что графики функций xUt) на отрезке [a,t>] находятся внутри полосы шириной 2е, центром которой является график функции xit) (рис.7).

Щяшер 3. Последовательность функций xht)= - (]?=1,2,...)

Uk+t

определена на отрезке [0,13. Она сходится поточечно к фушит x(t)=t на отрезке [0,1], так как

kt t

llm xUt) = llm

= lim

= t.

Jj-K» Jl-K» 1 + ft + t

ft ft

Эта последовательность сходится равномерно к той же функции