120 Тлава 7. Чясжвтое янтегртфованяе

J еДг J еДг = - е"* = 1 - е~7= 1-0,000912. О О

Точвое аначвнив явсобствея&ого интеграю равш 1. щ

Насобственшб интегралы пртмера 1 мсжно считать эталовншш для встрвчажящ:ся в хфактике интегралов. Шшю на пргаюрах некоторых абсолютно сходящихся интегралов мы покажем, как используются эталонные интегралы.

Опребедекш. Несобственный интеграл йгнкции fix) на [а,») называют абсолптао сходдф!НСЯ, если сходится несобственный интеграл абсолютной величины функции \fix)\ на этом промежутке.

Если \gix)\\fix)\ для любых значений хна промежутке Га,») или (Знкция \gix) I эквивалентна /(х) j при х <» (предел отношения этих функций равен единице при х, стремящемся к бесконечности) и интеграл функции /(х) сходится на (а,»), то несобственный шй-еграл функции gix) также сходится на Со,»).

Приведенная форма достаточных условий сходимости абсолютно сходящихся интеграж>в позволяет в неравенстве (9) использовать упрощенные подынтегральные функции вместо заданных.

В упражнениях к этому параграфу удобно сравнивать заданную подынтегральную функцию с эталонной, если при больших значениях аргумента применять следующие соотношения:

1) AjP- + йг ~ Ajf, есж а > О, а > А,В ~ числа;

2) 1пх < х, р - любое положительное число. Пример 2. Даны несобственные интегралы:

00 00

slnx г 2

бх; 2)

1п(х+1) dr.

1 JxH [2+ I? ) о

Аппроксимировать их определенными интегралами с точностью, не меньшей чем е = 0,001.

Решение. Прежде чем искать верхние пределы интегрирования с помощью неравенства (9), упростим подынтегральные функции. 1) имеем

slnx 1 1 1

- - - = X > 0.

Теперь воспользуемся неравенством (9): alax , г \а1ш\

йх <

г dx

< 6=0.001.

Из решения примера 1 следует, что Ь=1001, Ь=11 при замене x=t-

и тогда

slnx

tool

slnx

-dx *

t ixf?[2+J ) 1 JxH [2+ix )

srslnt

t3+i

с точностью, не меныпей чем 0,001.

2) Так как

е 1п(х+1) е 1п(2х) 2хе"

X > 1,

1п(х+1 )dx

ln(2x)dr <

2хе dx =

e""du < £=0,001,

b b b b

где u = x. В примере 1 было получено, что 0=7, bJfj.

Окончательно находим

1п(х+1 )dx ft*

ln(x+1 )dx.

Замечание 1. Естественно, что окончательная погрешность при вычислении несобственного интеграла равна сумме погрешности е eio представления в виде определенного интеграла и погрешнее-ш при вычислении определенного интеграла по одной из квадратурных формул. Можно полагать, нащ)имер, погрешность вычисления определенного интеграла равной е/10.

Замечание 2. Несобственные интегралы на промежутке (-«»,а] вычисляют аналогично изложенному.

Упражнения

Используя определение, показать, что несобственный интеграл

3 = /(x)dx сходится. Аппроксимировать его определенным а

интегралом с точностью е = Ю". Вычислить определенный интеграл с помощью квадратурной форяулы Гаусса методом двойного

пересчета с точностью 10~. Сравнить полученный результат с точным значением несобственного интеграла, вычисленным с шестью верными знаками.

(3=-ln(1+j2)). 2. 1 X \х + 1

е" sin X йх (3=0,5).

х + 1

(3=-ln(1+j2)). 4. 3

е cos Л7 dr (3=0,5).

• -2 ? -1

е * slnx йх (3=-(1-е Ъ). 6. 4

X e~*sln X йх (3=0,5).

е cosx dr (3

=-(1+е-Ъ). 8.

X е cos X йх (3=0).

1 + е

(3= - 1п2). 10.

х е * dr

(3=1).

J5 x J (х + 1 )3

1ПЗ-1

(3=-). 12.

e~* йх

(3 = - ). 2

Л 1.

(3 = - ). 14.

е~2 dx (3=0,25).

.х+ 4х+ 1

4 г dr

(3 = - ). 16.

О 1+ -

(З=21п2).