Щяшер 5. Вычислить равномерную и квадратичную нормы функций x(t) и y(t) и определить расстояния dix.y) и dix,y) если x{t) = sin t, y{t) = cos t (t € [0,ic]).

РешениеШ Используя приведенные определения, получим

jsln tjl = max I sin t = 1,

Ijcos t = max cos t = 1,

d(Bln t, cos t) = llsln t - COB tH = max I sin t - cos tj =

TC 1С 7C

= max Isln t - sln( - t) = 2 cos - max I sin (t - -) = y?,

OCtic 2 4 Oiu 4

llsln t 2=

slntdt=

1-cos2t 1 -dt = -

2 Гг\

at - -

cos2td(2t)=

- - sln2t

. 2

IJcos tB

costdt =

1+cos2t

-Kit =

C!(Sln t, COS t) p = IJSln t - COS tjl о =

(sint - cost)dt =

(1 -2sintcost)dt

sint d(sint) =

% - BV[ft

Заметим, что для заданной функции x{t) ж заданного числа S > О неравенство й{х,у) < е означает, в частности, что график

функции у it) расположен в полосе мевду графиками функций x{t)-B и x(t)+e (рис.5). Это вытекает из равносильности неравенств

x{t),y{t)

X(t)+6 Xit)

Рис. 5

dix.y) < е *=» JlT-yjl < 6 *=*

\x{t) - yit}\ < 6 V t e [a,t)] *=* x(t)-e < yit) <. xit)+E V t € [а,ЬЗ.

1. Даны векторы a=

• 5 .-6 J

Упражнения

Вычислить

их т-, I- и й-нормы и найти расстояния d(a,b) и d{c,d) для каадой из этих норм.

2. Даны два вектора а =

. На координатной плоскос-

ти Охх указать множество точек ix.x), для которых: а) х-а 2; б) х-Ь > 1; в) х+Ь= 2;

Г) йх-(а-2Ь) < 3; д) х-а+х-Ь = 4.

3. На плоскости указать множество точек X, для которых выполняется неравенство й«?(х)й < 1, где J(x) - матрица Якоби

следующих систем функций: 1

3 I .

б) iX .Xg) = In Tg,

fix.x) - 3

1 « 1 о 1

г) f.{X,X) = 2 + 2 2* /г1*2 = 4 * 2 2 »

Д) /i(J?ifJ?2) = COS Xg, /2 1*2 = Sin X.,.

4. Вычислить равномерные и квадратичные нормы функций x{t) и y(t) и определить расстояния d(x,y), d(x,y) если:

= - t, t € [0, 1];

а) x(t) = 1 - t,

б) x(t) = e*, B) x{t) = In t, Г) x{t) = sin t.

y(t) = 1 - t, t e [0, 13;

y(t) = t, t € [1, 21; 1

y(t) = 1 - - t, t € [0, It].

§2 СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ В ЛИНЕЙНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Определение. Последовательность элементов {хЬ (й=1,2,..,) линейного норлированного пространства называется сходящейся

к элементу а этого пространства, если расстояние d(x,a) - О при к со. При этом элемент а называют пределом последовательности (хЬ ()г=1,2,...) и пишут а = lim х*.

1. Сходимость последовательностей п-мерных векторов и матрщ

Пусть в пространстве К"" дана последовательность векторов

и некоторый вектор теорема.

тогда справедлива следующая