С помощью неравенства {Z) находим оценку погрешности. №<еем

где и(х) = (x-XQ)(x-ic)(х-Х2) f-jf-) *

Так как /(x)=slnx, /(з:)=со&г, /*(х)=-81ш7, f " (х)=-со8х, то = max \Г"{х)\ = max j-cosxl = 1

и, следовательно,

Islnj - 1 - if- ({<-(-1 0,006.

12 12 3 12

Итак, sin - 0,264 ± 0,006. Заметим, что это значение с шестью 12

верными цифрами есть sin - = 0,258819. щ

Упражнения

1. Функция fix) аппроксимируется интерполяционным многочленом

Лагранжа второй степени для системы трех равномерно расположенных на отрезке узлов. Оценить погрешность интерполяции в точке ;

а) fix) = cos яг, С = - О < X < - ;

12 - 4 J

б) fix) = X cos X, I = - о X < - ;

12 4 J

в) /(X) = е * , f = 0,3 ( О X < 0,4 ).

2. Функция /(X) определена на отрезке [1,00; 1,20] (см. таблицу

на с. 91). Найти значения многочлена Лагранжа, интерполирую-* щего функцию fix) на этом отрезке по системе трех равномерно расположенных узлов (с шагом 0,1), в точках 1,05; 1,09; 1,13; 1,15; 1,17. Полученные результаты сравнить с табличными значениями и дать оценку точности интерполяции, используя неравенство (2).

§1. Интерполяционная формула Лагранжа

Проведем эту оценку в задаче 1а, где f(x) = сов з. Строгое вычисление величины max \f" (х)\ требует нахож-

Дания точек экстремума функции f " {х) на отрезке О, - ,

L 4 J

вычисления значений функции в точках экстремума и на концах отрезка и, наконец, выбор необходимого значения My

Для этого вычислим производные функции f{x) вплоть до четвертого порядка:

/ {x) = -Zx slnz, /"(X) = -2(sinx + Zcqob:),

f"{x) = -427 (acosj: - Zaslnj),

fhx) = - 4(3cosx2 - 4хсо8л; - 12j:Blm:).

Точки экстремума функции fix) являются корнями уравнения

/(а:)=0, 4(3cobj: - A-xcosaP- - 12j:slnj:)=0, х е О, - .

L 4 -

Эти корни находятся с помощью численных методов, изложенных в гл. 3.

Завышенную, но вполне удовлетворительную оценку величины подучим с помощью следующих более простых преобразований.

На отрезке

О, -

справедливы неравенства

ХСОБЗ > О, 3pSlD3 > о, ЗХОО&З > ZSPslTiJ,

Поэтому

= max \f"ix)\ = 4 max iZxcossP- - 2aPsinx) < ox ox

< 4

max 3xcoaz - mln 2aPslnz

= 12 max JC0B2: < 3%.

Итак, получена несколько завышенная оценка Uj < 3%.

Заивчание. В процессе решения задачи 1 могут юзникнуть трудности при оценке величины = max /" () «