суммы A+Bf составленная из элементов (а + Ь. ), а умножение

матрицы на число охфеделено как умножение каждого элемента матрицы на это число (£=1,2,...,п; /=1,2,...,т).

Для матриц Aiaj) определим следующие три нормы:

= шх. i У \а, ,\ } (т-норма);

М,= max { 2 а. J > (Z-норма);

n m о

(й-норма).

При m=1 матрица Л представляет собой n-мерный вектор. Ранее введенные нормы для векторов совпадают с нормами, определенными в частном случае для матриц размера п1.

Щмшер 3. Вычислить нормы матрицы

Г 1 -1 2

1 3 -1

2 0-1 1 1 -1

Решение. Используя определения норм, получим р= max {11+2, 1+3+1, 2+0+1, 1+1+1) = max (4, 5, 3, 3) = 5;

4j= max (1+1+2+1, 1+3+0+1, 2+1+1+1) = max (5, 5, 5) = 5;

(1+1+2)+(12+3+1)+(2+0+1)+(1+1+1) = 5. и

В каждой точке некоторой области пространства R"" могут быть определены п функций, непрерывных вместе со своими частными производными. Тогда в каждой точке можно определить функциональную матрицу порядка п.

Определение. Матрицей Якоби системы функций {/(х.Xg.....х),

i-fX,...,х),fi.xгХ,...,х)} называется функциональная квадратная матрица порядка п следующего вида:

Нормы матрицы Якоби в точке х вычисляются по формулам

jjJ(x)B=max (е

(х)1 = max

i=:ij=i ах/

(т-норма); (Z-норма);

(1г-норма).

Щшмер 4, Дана система функций

Найти множество X с. ft, на котором выполняется неравенство

Fewwue, Здесь /.,Ц,Х2)= - (х,, + д ); /ga 2 * Из определений матрицы Якоби и т-нормы матрицы следует

J-(x) = max

I 4 2

J 111};

- + 1,

4 2

lx.,1 < 1, 3

1 lpl< r •

111 <1

Заданное неравенство выполняется в точкак открытого прямоугольника {(xj.Xg): x.jj < 1, 12 (рис.4), в

1 X,

Рис.4

4. Нормированные пространства на инокестве функций, непрерывных на отрезке (аЬЗ

Можно показать, что шожество непрерывных функций на отрезке [а,Ь] относительно операций сложения х{Х)->су{1) и умножения на число образует линейное пространство С it € 1а,Ъ1;

Л. € R; xit), yit) е

Норма называется равномерной на С или С-нормой,

если

М = max \xit)

Норма J7 2 называется квадратичной на С если

Расстояния между функциями x{t), y(t) € G - по равномерной и квадратичной нормам вычисляются соответственно по формулам ci(.y)c= 11-У11с = \x{t)-y{t)\.

{x{t)-y{t)fu.t.