а.+Ь. 0.5+1 Са. .Ь. 3=[0,5;1 ]. = -1-1 =-- = 0.75.

Здесь/(а)=1.8513. /(Х2)=0.758. /(а )/(Х2)>0; следовательно.

[Og.bgl-LO.TSni, 3 = = 0,875; = 0,125.

Производя вычисления далее или воспользовавшись программой Приложения (см. с. 220-225), можно убедиться, что заданная точность достигается на 7~м шаге:

= 0,8828125 с погрешостью Oj = 0,0078125 < 8 = 0,01. щ

Упражнения

Методом половинного деления найти решения следующих уравнений с точностью е = 10".

1. х* - Эх - 20 = О {х>0). 2. ~2х-5 = О {х>0).

3, х + Зл7 + 5 = 0. 4. + 5Л7 - 7 = О ix>0).

5. x-iZx -5 = 0 (J7>0). 6. - 2j - 4з: + 5 = О {x<0).

7. X + e* = 0. 8. - T - 2 = 0.

9. x - iar + 5 = 0 {x<0). 10. 2 - lnJ7 - J7 = 0.

11. + 2x - 7 = 0. 12. x + - 11 = 0 {x>0).

13. - 2r - 4 = 0 {x>Q). 14. 2e 4 л: - 1 =0.

15. x - 23: - 4 = 0 (x<0). 16. 2r + 2 - 4 = 0 {x>0).

17. e"" -X - 2 = 0. 18. - e" - X - 1 = 0 {x>0).

19. ~ cosx = 0 (r>0). 20. : + Inr = 0.

21. 1Ш7 + 0,5з: -1=0. 22. Inr - 0,5x +1=0 (x>1).

23. -5 - \x\x =- 0. 24. -о - - = 0 (x>0).

1+x 1+ 2

25. - - inr = 0.

2+3:

40 Глава 3. Реоеяяе яелвивйннх ураввюиий я систем

$3. МегоЖ ШТЕРАПт т ОДШГО УРАВНЕНИЯ

С одшм шзязввсты

Цусть требуется ревить уравяешю, представленное в вщре

xgix), (5)

где правая часть урашеяия - непрершвиая на отрезке 1а,Ы функция gix). Суть метода этерацив (метода последешательяых орибли-

яенШ) состоит в следуивм. Начиная с произюльной точки хК принадлежащей отрезку Са,Ы, последовательно получаем

х = gix} (первое приблшшнив),

= gix ) (второе приближение),

(х*Ъ (ft+t -е приближение).

Последовательность

хК х<>,...,х<*),... (6)

называется последовательностью итераций для уравнения (5) с

начальной точкой хК Если все точки (6) принадлежат отрезку

Са.Ь] и существует предел = llm х*, то, перейдя к щюделу в равенстве *

х<*-*-= Я(х<*Ь (&--0.1,2,...), (7)

получим llm х= llm g(xb, т.е. g = g(C).

Следовательно, если существует предел последовательности итераций (6), то он является корнем уравнения (5). Достаточные условия сходимости последовательности итераций содержатся в следующей теореме.

1%орема. Пусть функция g(x) имеет на отрезке ta,£>3 непрерывную производную и выполнены два условия:

1) g () g <1 при X € [а,Ь];

2) значения функции y=g{x) принадлежат отрезку Ca,t>l для любого X € [а,ЬЗ.

Тогда при любом шборе начального приближения х* € 1а,Ъ1 процесс итераций сходится к единственному корню С уравнения (5) на отрезке [а.ЬЗ.

Оценка погрешности к~го приближения х* к корню i такова:

§а. Метод ятершщй дяя нелииойяого ураввеявя 41

<Х ,аг<*)-х<*->, (8)

где <? » шх J«(x).

Укажем теперь один из стюсобов щюобразования уравнения

/(Х)=0 (9)

к шщу дг = g{x), допускаивэму применение метода итераций, сходящихся к решению i уравнения (9).

Для любого числа K/Q уравнение (9) равносильно урашению (5), где g{x) = X \/{х). Предположим, что производная / (хУ > О

и непрерывна на Ia,&J. Дусть М = max. f ix), m = шШ / (x);

положим А, = - , q = 1 - и рассдютрим функцию

g(x) = - - /(X). (10)

Для функции, определенной формулой (10), выполняются достаточные условия сходдаюсти метода итеращзй решения уравнения (9). В частности, условие 1 теоремы следует из неравенств

О m < / (X) < 1,

О (X) = 1 - - fUx) 1 - - = q < 1 Vx€ 1а,Ы.

Замечание 1. Если окажется, что производная f (х) отрицательна на отрезке [о,&1, то уравнение (5) можно заменить на равносильное уравнение -/(х)=0 и использовать указанное преобразование.

Замечание 2. Бели вычисление точного значения числа Ж = шах /(х) затруднительно, то можно заменить его произ-

вольным числом Ж > If. Однако при большом число q = 1 -

ближе к единице и процесс итераций сходится медленнее.

Замечание 3. При нахождении корня уравнения (5) с заданной точностью е > О иж при оценке погрешности Л-го приближения можно, не вычисляя точного значения числа д= max \gix)\, огра-

ничиться следующей практической рекомендацией: