ГЛАВА 3

штот ЧИСЛЕННОГО РЕшшя згрдвшят и систЕУ нелинейных уравнении

§1 . ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ

Пусть /(X) = о - некоторое уравнение. Число i называется корнем или решением данного уравнения, если оно, будучи подставлено в уравнение, обращает его в равенство, т.е. /(=0. Число называют нулем функции y=f{x).

Нахождение действительных корней с определенной точностью можно разбить на два этапа:

1) отделение корней, т.е. установление промежутков, в которых содержится один корень уравнения;

2) вычисление корня, принадлежащего выбранному промежутку, с заданной точностью.

Известно, что если функция /(х) непрерывна и принимает на концах отрезка [а,Ы значения разных знаков, т.е. /(а)/(Ь)<0, то внутри этого промежутка найдется нуль функции.

Отделение корней уравнения /(х)=0 для непрерывной в области определения функции /(х) можно осуществить различными способами.

1) Составляют таблицу значений функции у=/(х) на определенном промежутке изменения аргумента х, и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разше знаки, то нуль функции находится между ними.

2) Уравнение /(х)=0 заменяют равносильным ф(х) = ф(х). Строят графики функций у=Ф(х) и у==ф(х); искомый корень является абсциссой точки пересечения этих графиков.

3) Строят график функции у=/(х) на промежутке изменения х; тогда абсцисса i точки пересечения графика с осью Ох - нуль функции, т.е. = 0.

Пример. Выяснить, сколько корней имеет уравнение A-q-Z:j=Q, и найти промежутки, в которых находятся эти корни. Решение. Рассмотрим три функции:

fix) = 4 - - 23; ф(х) = 4 - 2:. qX

Уравнение fix) -Q эквивалентно уравнению ф(х) = ф(х). Отделим его корни двумя способами.

§S. Метод половинного деления

Рис.10

1. Из таблицы значений функции fix) на промежутке t-3,0; 1,0] с шагом изменения х, равным 1, видно, что существуют корни уравнения на отрезках

t-2,-1] и С0,1], так как значения функции на концах отрезка имеют разные знаки.

2. ]?рафики функций у=ф(х) и y=*pix) пересекаются в двух точках, абсциссы которых и являются решениями уравнения

Ф(х)=ф(х), заключенными в указанных промежутках (рис.10). «

§2. МЕТОД половинного ДЕЛЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ fiX)=Q

Пусть дано уравнение

fix) =0. (1)

причем функция fix) непрерывна на отрезке 1а,Ы и fia)fib)<0 (рис.11). Для вычисления корня уравнения (1), принадлежащего

отрезку [а,Ь], найдем середину этого отрезка х. = -. Если

2

fix) / О, то для продолжения вычислений выберем ту из частей данного отрезка 1а,х] или [х.Ь], на концах которой функция fix) имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначим через и 0 (рис.11).

/(а)/(Ь)<0; ry=/W >0;

< in

Рис.11

Новый суженный промежуток [а,Ъ] снова делим пополам и проводим вычисления по разобранной схеме и т. д. В результате получаем жбо точный корень уравнения (1) на каком-то этапе, либо последовательность вложенных отрезков [а.Ь], [а,Ь],...,

[а ,Ъ ],... таких, что

п п

/(а )/(& ) < О (п = 1,2,...), (2)

к - % = (-«- <з)

Число I - общий предел последовательностей (а } и {й } - являет-

ТЬ ТЬ

ся корнем уравнения f{x)=0.

Оценку погрешности решения на п-к шаге вычислений можно получить из соотношения (3) в виде

О < е-а < ib-a) = b -а . (4)

п п п, п

Здесь « С с точностью е, не превышащей - (Ь-а).

Пример. Методом половинного деления с точностью s = 10" найти

корень уравнения 4 - - 2 =0 ( х > 0). Решение. В примере из §1 при отделении корней уравнения было установлено, что искомый корень принадлежит отрезку [0,1]. На каждом шаге вычислений значение корня принимаем равным х=(а+Ъ)/2 с погрешностью d=b-a. Будем производить вычисления и выбирать последовательность вложенных отрезков [а,Ь], используя условие /(а )/(Ь )<0. Имеем

[а.Ь]= [0,1], х,= - =0,5.

ч 2

Так как /(а) = 3, /Ц ) = 1,8513 и f{a)f{x.) > О, то полагаем = х 0,5, Ь = b = 1; d., = b.,-a = 0,5. Тогда