$2. Метод итераций

Ha№ii шрвое приближение:

= 0х\К 0.2г- 0,41 ,6= + 0,2Н )-0.4 + 1,6= t,

дг= -0.25x1+ 0.д:>+ 0,2бЦ°И=-0.25.1.6 + 0.25 -1в-1.15.

.х= -0.25а:{-0,25г>+ О.Ц1=-0,25.1.6-0,25(~1 )+1= 0,85;

Следовательно,x =

1

-1,15 • 0,8&

1*1» . li) (01-ностью, не прешшаицвй величины-= х-х

дает значение корня С с гюгреш-

Далее последовательно находим

Л2)

1-0,6

-0,6 =0,9.

х= 0,2(-1,t5)-0,4.0,85 + 1,6 = 1,03,

-0,25-1 + 0,25.0,85 - 1 =-1,0375, х=-0,25И - 0,25(-1,15)+ 1 = 1,0375;

х(2) max Ш,03; 0,1125; 0,1875} = 0,1875,

Д2)

1,03 -1,0375

1,0375

а1 0,6

« х12) 0,1875=0,28125;

1-0,6

хр= 0,2(-1,0375)-0,4.1,0375 + 1,6 = 0,9775, х= -0,25-1,03 + 0,25.1,0375 - 1 = -0,998125, х= -0,25-1.03 - О,25(-1,0375)+ 1 = 1,001875;

х(3) j.(2) {0.0525 ; 0,039375 ; 0,035625) =0,0525 « 0,05,

.(3)

0,9775 -0,998125 1,001875 J

,(3). j(2)j

1-0.6

0,05=0,075.

Заметим, что точное решение есть х=1, x-U 3=1

2-469

Решение этого примера по программе, приведенной в Приложении (см. с. 204-219), показывает, что заданная точность достигается за 5 шагов, щ

Щшюр 2. Показать, что для системы

Г 10027 4 SOoTg - 703 = 1, 15х - 502 - 53 1, 4 22 4 2агз = 1

процесс итераций сходится. Сколько итеращтй следует выполнить,

чтобы найти решение системы с точностью 10 ?

Решение. Представим систему в приведенном для итераций виде:

= ОХ - 0,32 4 0,73 4 0,01, Х = 0,3г 4 0«Х2 - 0,13 - 0,02, 3 = -0,3.,

Матрица приведенной системы

О -0,3 0,7 1

0,3 О -0,1

I -0,3 -0,1 о

х = -0,3х, - 0,12 4 0.3 4 0,05.

Для проверки достаточного условия сходимости вычислим нормы матрицы а:

!а = гаах <. у; ja.l > = maxd; 0,4; 0,4} = 1, ™ i<i<3 J=1

Ijajj = max 1 2 t< J > = maxl0,6; 0,4; 0,8} = 0,8,

i<3 t=i

/I Д 2 Jo,32-,0,t2q32q2q32q-,2 «.0,88.

Достаточное условие сходимости процесса итераций выполнено, так

как, в частности, ajjj= 0,8 < 1. Чтобы найти решение системы с

точностью 6=10 , будем вычислять число итераций с помощью неравенства (13) Б пространстве с 1~нормой. То1да получим

miZ\P\ - 0,0140.0240,05 - 0.08;

Hcil О

-L. рв S !- 0,0810-3 0,8 .0,4 < 10~3

1-аг 0,2

-3 -Ig 0,4

(fcfl) Ig 0,8flg 0,4 < -3 ft >----1 *. 25.

Ig 0,8

Фактическое число итераций для достижения заданной точности в пространстве с т-нормой равно 10 (расчет по программе, приведенной в Приложении).

Замечание. Достаточное условие сходимости процесса итераций для неприведенной системы (8) по и-норме можно представить в виде

а,,1 > 1 (t=1,2....,7i). (16)

Здесь модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы (8) больше суммы модулей всех остальных коэффициентов. Естественно, что если условия (16) не выполнены, то следует применять условия сходимости по I- и ft-нормам после приведения системы к виду (9) или непосредственно к неприведенной системе (8). Достаточное условие сходимости процесса итераций для неприведенной системы (8) по Z-норме можно представить в виде

> S (J=1,2,...,n).

Упражнения

Найти решения систем линейных алгебраических уравнений Ах=Ь методом итераций с точностью 6=10~ (см. упражнения к §1). Сравнить их с точными решениями С. Для систем 1-26 выполнить вручную первые две итерации. Убедиться, что для систем 27-34 достаточные условия сходимости метода итераций не выполнены.