На векторах линейного пространства R"" можно, в частности, определить следующие три нормы (и соответственно три линейных нормированных пространства):

х= тах{ {, I,..., } (я-норма или кубическая норма);

(7-норна или октаадрнческая Hqxia);

(к-пориа или сферическая Hqxia).

Пшюр 1. Вычислить ра с стояние между векторами х и у для каждой из трех введенных норм, если

1 2 -3 .

1 • -1

. 1 .

ПРИМЕРЫ ЛИНЕЯЯНЫХ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ

1. Множество действительных чисел R является линейным нормированным пространством, где норла - это абсолютная величина чист-ла, а расстояние d(x,y) = = \х-у\ (х, у € Ю-

г. Нормированные пространства п-мервых векторов

Упорядоченная совокупность п действительных чисел х.х-.-.х называется п-мерош вектором z € а числа xxf-x - его координатами.

Суммой двух тг-мерных векторов х и у называется п-мерный вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат кУь 2,...,гг) векторов х и у.

Щюизведением п-мерного вектора х на число X называется п-мерный вектор Лх, координаты которого получаются из координат вектора х умножением их на число X. Будем записывать вектор х в виде

Решение. Найдем вектор разности

X - у =

о

3 -4

Согласно определению расстояния между векторами как норме их разности, получим

d(x,y) = Их-уН = max {0,3,4) = 4;

d(x.y) = x-yj(j = 0+3+4 = 7;

d(x.y), = x-yj. = 0+3+4 = 5.

> ~ .1- = JoW+42

Пример 2. Ha плоскости найти множества точек, удовлетворяющих условию НхЦ = 1. Решение получить в пространстве R для трех норм: а) т-нормы; 6) Z-нормы; в) й-нормы. Решение. По определению, сфера {в частности, окружность) - это множество точек, находящихся на заданном расстоянии от некоторой точки, называемой центром сферы. Условие х=1 определяет сферу единичного радиуса с центром в начале координат. Геометрический образ сферы зависит от рассматриваемого линейного нормированного пространства. В данном примере получим три различных геометрических образа формально определенной сферы (рис. 1-3). На плоскости Охх точке {xtX) соответствует вектор

€ R-

В пространстве R с т-нормой условие jxjj = 1 эквивалентно соотношению max (jTj.lTgl) = 1 или объединению двух

множеств точек на плоскости Охх: i{x.,x): =1,<U и

i{x .Tg): \х \<S ,1=1). Это множество является границей квадрата (рис.1).

+ 3 = определяет удаленные

3. Нормированные пространства матриц размера п на m

Определение, Прямоугольная таблица чисел из п строк и т столбцов называется матрицей размера п на т.

Будем обозначать матрицу так:

11 12 1 22

а . а ,5

n1 п2

Числа а((=1,2,...,п; J=1,2,...,т) называются элементами матрицы. Нижние индексы t и J элемента aj указывают номера строки

и столбца, на пересечении которых находится этот элемент в таблице. Матрица А называется квадратной порядка гг, если гг=пг.

Матрицы одинакового размера образуют линейное пространство, если для любой пары матриц А=(а..) и В=(Ь.,) определена матрица

б) В пространстве с Z-нормой равенство х=х,, l+jXgj = 1

определяет множество точек, образущих границу квадрата (рис.2), Действительно, условие fxi+iXgl-l эквивалентно соотношениям

х+х=1 при х > О, Xg > 0;

х-Х2= при х О, х < 0; -x.+x.= при г., < О, Х2 > 0;

-Х-Х2= при Х < о, 2 < о,

которые позволяют выполнить чертеж последовательно в каждой четверти плоскости Охх.

в) По ]г-норме условие {х

на единицу от начала координат точки, лежащие на окружности (рис.3), я

Можно убедиться, что в пространстве с т-, Z-, fe-нормами условие х,=х=х=1 определяет множества точек, лежащих

соответственно на гранях куба, октаэдра и на поверхности сферы. Последнее мотивирует названия введенных норм.