rfS=2(s,-S)9,(P„ S)dP„

dZ = a(Z, S, t)dt-, b{Z, S, t)dW S)dQ,.

ft= I

Описание систем со случайно изменяющейся структурой с помощью стохастических дифференциальных уравнений было предложено в [103].

Уравнения системы со случайно изменяющейся структурой при пуассоновских потоках изменений структуры можно записать в общей форме уравнений Ито (3.79):

dZ = a(Z, t)dt + b(Z, t)dW,

где Z = [SZ] - вектор состояния системы, W(t)-процесс с независимыми приращениями, состоящий из л-1 независимых

блоков W(t}, [PiQY, [PnQnV, a(z, t), b(z, 0 -блочные матрицы

a(z, t) =

a (z, s, /)

b{z, 0 =

b{z, s, /)

Si - s 0 0 /

SN - s 0 0 /

Аналогично можно привести к общей форме уравнения Ито (3.79) уравнения системы со случайно изменяющейся структурой при эрланговских потоках изменений структуры. Однако в этом случае коэффициенты при rfP. и dQ зависят от Р,. Поэтому в соответствии с замечанием в конце п. 3.6.1 вектор состояния системы следует расширить добавлением к нему вектора Z с компонентами Zi = Pi, . . ., Z = P., определяемыми уравнениями dZ[ = dPi, dZ = dPj.

Напишем уравнение (38) для одномерной характеристической функции вектора состояния системы со случайно изменяющейся структурой. Для этого найдем сначала функцию t), соот-

ветствующую процессу W (t), р = [ppi-. •Pv]. В соответствии со

говскнй ПОТОК событий получается из пуассоновского потока путем пропуска подряд п-1 событий и отбора каждого события, имеющего номер, кратный данному числу п. Натуральное число п будем называть параметром эрланговского потока. Ясно, что в случае эрланговских потоков изменений структуры системы следует ввести перед дифференциалами dP, и dQ, в стохастических диф;зеренциальных уравнениях системы множитель Ф(Р,, S), представляющий собой периодическую функцию с периодом, равньш пара.метру (S) соответствующего эрланговского потока, равную 1 при P/ - ns (s=l, 2, ...) и О при всех остальных (целочисленных) Р,. В результате стохастические дифференциальные уравнения системы примут вид

- 2 [е"*-"°я,(; 2, s, /)-i]v,(z. s, t)\e--

сказанным в п. 5.3.5 функция t) в этом случае представляет собой сумму функций 1, соответствующих независимым блокам W{t), {Pi(t)QAtyV.....[Рл,(ОС.у(ОЛ, составляющим процесс W{t):

х(р: Z, S, o-z(i; 0+ 2 1ЛН\ 2, S, /),

где х(р; t), / (р; Z, S, /)-функции( процессов Г (г). соответственно (/г=1,..., Л"), р = [р pj"...u]" - разложение вектора и. на блоки, соответствующие независимым блокам, из которых состоит процесс а Ра = [рао!.Л - разложение век-

тора p, на блоки, соответствующие процессам Р{) и QyCO- Здесь мы учли, что интенсивность потоков скачков процессов и

распределения скачков процессов () могут зависеть от вектора состояния системы Z={SZy. Пользуясь формулой (37а) п. 5.3.1 для функции "/ и формулой для характеристической функции приращений пуассоновского процесса и порождаемого им общего пуассоновского процесса на бесконечно малом интервале (/, s], согласно которой (пример 3.12)

К(к Z, S, t, s) =

= l-f [Awgr,(i,; Z,S, 0-l]v,(2, S, t){s-t) + o{s-t},

находим

xAW, z, s, 2, s, o-i]v,(z, s, t).

где aIia; 2, S, t) - характеристическая функция скачка процесса Q(/) в момент /, зависящая также от Z{t), S(i). Таким образом,

(р; Z, S, t} = %(ii; /)- 2 Wg,A\k-y z, s, f)-l]v,(Z, S, /) и соответственно

Xib{Z, S, tfl; Z, S, 0 = x(b(Z, S, OX; /)

A- 1

где Я = Я] -разложение вектора л на блоки, соответствующие блокам S, Z вектора состояния системы Z, Подстав11в это выражение в (38), получим уравнение для одномерной характеристической функции процесса в системе со случайными изменениями структуры:

308 -Т- 5. ТЕОРИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Совершенно так же записывается уравнение (41) для остальных конечномерных распределений.

Из уравнения для одномерной характеристической функции легко выводятся уравнения для условных характеристических функций в различных структурах и для вероятностей структур. Имея в виду, что при каждом / S(/) = S;-дискретная случайная величина с возможными значениями Si, s,v и вероятностями этих значений Pi(t), уО\(0. по формуле полного математического ожидания (ТВ, и. 4.3.3) находим

gAT.; /) = Me°"""==2 °4i(>; t\si),

где gii-; ISj) -условная характеристическая функция вектора состояния системы Z в 1-й структуре. Аналогично вычисляется по формуле полного математического ожидания математическое ожидание в правой части уравнения для giC; t). В результате это уравнение примет вид

V y-«h Pfgi < I ч)

i = \

.V Л

/=1 ft=i

Л г Д

1= 1

Здесь индекс / у сум.м по k указывает, что слагаемое, соответствующее к = 1, в сумму не входит. Это объясняется тем, что при отсутствии изменения структуры процессы РД/) и Qi(t) сохраняют постоянные значения, вследствие чего gi{i; Z, Sj, ) = 1. Изменив порядок суммирования в первой двойной сумме, приведем ее к виду

2 e-p,M[gA>; Z. s„ t)xAZ, s„ t)e\s,].

k=l 1=1

Поменяв местами индексы /е и / (от этого двойная сумма не изменится) и подставив полученное выражение в предыдущее уравнение, будем иметь

Y As, dpigrjK; t\si)

= 2 Ae°W[{aa(Z, s„ t) + x{b(Z, s„ tyi; t)} eг\s,] +