будем пользоваться для описания поведения систем дифференциальными уравнениями. Тогда естественно дополнять их соответствующими начальными условиями и не вводить в них 6-функции.

Заметим, что функция g{z, t) в формуле (15) для выходного сигнала не зависит явно от входного сигнала х. Однако в некоторых случаях приходится заменять функцию g{z, t) функцией g(z, X, t), явно зависящей от входного сигнала х.

В частном случае выходные сигналы системы могут совпадать с некоторыми из переменных состояния. В таком случае без потери общности можно считать, что выходными сигналами являются первые т координат вектора z, и написать второе уравнение (15) или (16) в виде

У = [/.0]г. (17)

где / - единичная матрица порядка т, а через О обозначена тх (уо -т)-матрица с нулевыми элементами.

Применение моделей систем, описываемых дифференциальными уравнениями, дает возможность использовать для исследования систем хорошо развитый аппарат теории дифференциальных уравнений. Благодаря этому применение моделей, описываемых дифференциальными уравнениями, целесообразно не только для технических систем, но и для многих других классов систем, изучаемых в теории управления. Разработка методов построения таких моделей для любых систем представляет собой одну из наиболее актуальных проблем современной теории управления.

1.2.7. Уравнения дифференциальной системы при автоматическом управлении. При автоматическом управлении системой, описываемой уравнениями (15), обычно вводится обратная связь по отклонению от требуемого режима работы системы и в соответствии с этим отклонением {сигналом ошибки) соответствующими преобразующими и исполнительными устройствами вырабатывается входной сигнал х. Отклонение от требуемого режима в общем случае характеризуется некоторой функцией h{y, t) = = h{g{z, t), t) выходного сигнала y - g{z, t). Это отклонение {сигнал ошибки или параметр управления) образуется соответствующими устройствами, формирующими требуемый входной сигнал X*, который отрабатывается исполнительными устройствами, обеспечивающими условие х х*. Все эти устройства обычно описываются дифференциальными уравнениями, которые в общем случае могут быть записаны в виде

x = (f{x, и, t), м = т)(х, Z, и, t), (18)

где вектор и состоит из требуемого сигнала х* и вспомогательных переменных, необходимых для того, чтобы привести систему уравнений, описывающих работу формирующих и исполнительных устройств, к форме Коши. Добавив эти уравнения к урав-

нениям (15), получим для z, х, и систему уравнений

Z=/(Z, X, t), х = ф(х, и, /), и=\>{х, Z, ы, О-

Наконец, вводя расширенный вектор состояния системы z = = {zxuY предстзЕИМ эти уравнения в виде одного векторного уравнения

z = /i(2, t),

где /i(z, /) = [jF(z, X, /)ф(х, и, /)4-(х, z, и, О""]-Таким образом, при автоматическом управлении системсй ее уравнения (15), (16) совместно с уравнениями, описывающими работу системы управления, приводятся к виду

z=/(z, t), y = g{z, t). (19)

Итак, если входной сигнал системы х вырабатывается в соответствии с сигналом обратной связи с помощью формирующих и исполнительных устройств, то, вводя дополнительные переменные состояния, можно формально избавиться в уравнениях (15) от входного сигнала и привести их к виду (19).

Если используется система управления с ЭВМ, то некоторые величины в математической модели системы управления будут дискретными и для описания функционирования соответствующей части системы управления подходящим математическим инструментом будут разностные уравнения. Расширенный вектор состояния системы z должен быть разложен в этом случае на на два подвектора z, z", z=[zz"Y, один из которых (z) представляет собой непрерывно меняющуюся величину, а другой (z") является дискретной величиной, меняющейся скачками в определенные моменты времени /*( = 0, 1,2, ...). Вводя функцию

"{t)= 2 4U,{t),

где 1ла(О -индикатор интервала Ak = [t\ i<*+"), т. е. функция t, равная 1, если t[t<-\ *=+i), и О, если t[t-\ г<*+"), мы заменяем в этом случае первое уравнение (19) системой уравнений

z = ][z, t), z;+i = (p(z„), (19а)

где Zj, = [z7z] = z (/<*), а ф -некоторые функции значения вектора состояния z = [zz"] при t = tk = 0, 1, 2, ...). В данном случае вся система является непрерывно-дискретной.

Пример 10. Движение самолета в вертикальной плоскости в режиме прямолинейного горизонтального полета при малых отклонениях от этого режима описывается уравнениями

a-l-Cia-l-C2a = Co-Сзб, в = а(а-т] = чЭ,

где а-угол атаки самолета (рис. 4), в -малый угол наклона его вектора скорости к горизонту, V-скорость полета, г\ - отклонение высоты полета от заданной, б-угол отклонения руля высоты, «о -угол атаки, необходи-

мый ДЛЯ поддержания постоянной высоты полета (т. е. для уравновешивания веса самолета подъемной силой), при котором 6 = 0, 6 = 0, т] = 0, с, Си Са, Сз, а-коэффициенты, пропорциональные соответствуюш,им аэродинамическим коэффициентам самолета и зависящие от плотности воздуха и скорости полета. Входным сигналом самолета служит отклонение руля высоты д; = б, выходным сигналом - отклонение высоты полета от заданной у = г\. За переменные состояния можно принять 2i = a, 22 = a, гз = 6, г - ц.

Тогда уравнения движения самолета примут вид

Za = a{Zi~ao), zvza, y = Zi.

Если управление полетом производится автопилотом, стабилизирующим угол тангажа 6 = = 6 +а около требуемого значения ао, то за выходной сигнал следует принять также угол тангажа Тогда выходной сигнал будет двумерным вектором с компонентами i/i=#, (/2 = = т). В этом случае автопилот вырабатывает требуемое отклонение руля б*, близкое к линейной комбинации угла й -«о и его производной #. Для этого применяется дифференцирующая цепочка, работающая в соответствии с дифференциальным уравнением

ri6* + 6* = fe(r2 + -ao).

Истинное отклонение руля высоты б даже при идеальном быстродействии рулевой машины будет следить за б* только до тех пор, пока руль не

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

ляжет на один из упоров. Поэтому зависимость б от б* нелинейна и изображается графически ломаной, представленной на рис. 5 (характеристика ограиичятеля). Обозначив эту функцию через ф, буцем иметь б = ф(б*).

Приняв за переменные состояния, кроме Zi = a, 22 = а, гз = Э, Zi = y, величину 5 = 6*, получим уравнения движения самолета в виде

21 = 2,, 22=Co-С221-Ci22 -Сз(р(г5),

Z3 = a(2i -«о), Zi = vz3, k [к(Тга+\ )/T,l (21 - а») + {кТ/Т,) + (б» + kz - z,)/T, (/i=Zi-f23, (/a = 24.