ковариационной функцией

Kw,{su s,) = A;i(min(Si, s,)), /ji(s) = /ji(s„) + Vi(s-s„),

где Vi - постоянная интенсивность стационарного белого шума V,(s) = Wi{s), а 5„ = ф(/„). Рассмотрим случайный процесс W (t) = = Wj{ip(t)). Очевидно, ЧТО 1 (/) -процесс с некоррелированными приращениями, так как монотонно возрастающая функция S -= ср (/) отображает любые непересекающиеся интервалы на оси s на непересекающиеся интервалы на оси /. Ковариационная функция процесса W (t) определяется очевидной формулой

ш(1,4)==/СшЛ(1()- Ц it,)) = k (min (ip{t,), (fit,))),

k it) = h (ф {t)) k, (ф (/„)) + V, [ф it) - ф it,)] = k it,) + \ ЛЧф (T) dx.

Отсюда видно, что интенсивность белого шума V(/) =W it) равна V (/) = (/). Переходя в уравнении (18) к переменной /, получим

dX, (ф it)) = аф it) X, (ф (/)) dt -f b dW, X, (ф ito)) = Хо.

Вводя случайный процесс (/") = Xj (ф (/)), представим это уравнение в виде

dX, = ац it) X,dt-r b dW, X, (/„) - X„

Kalat)X,bV, Xa„) = Xo. (19)

Таким образом, формирующий фильтр в данном случае описывается уравнением (19) и формулой Х(/) = у(ХД/), t).

Обратим внимание на то, что, написав уравнение формирующего фильтра для случайной функции X, (s) в форме обычного дис[зференциального уравнения с белым шумом в правой части н сделав в этом уравнении замену переменных s = q it), получим в уравнении (19) в коэф{)ициенте перед белым шумом множитель (fit). Однако такой вывод уравнения (19) ошибочен. Это иллюстрирует тот факт, что обычные правила замены независимой переменной неприменимы, когда в дифференциальном уравнении присутствует белый шум. Это необходимо всегда помнить, имея дело со стохастическими дифференциальными уравнениями.

Ковариационная функция начального значения процесса Xi(s), Х„ = Xi (ф (/„)), определяется формулами (15) - (17).

Пример 5. Случайная функция X {t) с математическим ожиданием и ковариационной функцией

§ 5.1. ПРИВЕДЕНИЕ К СТОХАСТИЧЕСКИМ >р\ИНЕНиЯМ 277

приводится к стационарной преобразованиями

X (0 = Co + Ci/+e"Xi(s), s=r- (при.мер 4.10). Здесь Al (s) - стационарная случайная функция с нулевы.м .математическим ожиданием и ковариационной функцией (а) =06"" °, a = si-s. Этой ковариационной функции соответствует спектральная плотность (со) = = Da/n («2(0) (пример 2). Пользуясь методом п. 5.1.5, находим дифференциальное уравнение для случайной функции Xi (s):

dXj/ds =- - aXi + 2Da Kb

где Vj -белый шум единичной интенсивности. Переходя к переменной t, заменим это уравнение уравнением (19) для случайной функции (/)- = Xi{fi), которое в данном случае имеет вид

X, -~2atXi--~V2DV,

где 1(О -белый шум интенснвиости 2t. Начальное условие для этого уравнения в соответствии с (19) имеет вид Х2(о) = Хо, где Х„ -случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

] s,(co)dco = -

П = \s. (co)dco = f j = D.

5.1.8. Об уравнениях, получаемых при практическом применении метода формирующих фильтров. Только что изложенные практические методы нахождения формирующих фильтров определяют формирующие фильтры с помощью линейных стохастических дифференциальных уравнений. Поэтому получаемые путем применения этих методов стохастические дифференциальные уравнения можно понимать в любом смысле. Определяемый полученными уравнениями случайный процесс не зависит от того, в каком смысле они понимаются. Тем не менее в дальнейшем мы будем всегда понимать все стохастические дифференциальные уравнения как уравнения Ито, так как развиваемые дальше методы исследования систем, описываемых стохастическими дифференциаль-ньши уравнениями, применимы только к уравнениям Ито.

5.1.9. Стохастические уравнения системы. В дальнейшем всегда будем предполагать, что эволюция состояния системы (вектора состойвия Z) описывается стохастическим дифференциальным уравнением, т. е. что уравнения, описывающие систему, приведены к стохастическому дифференциальному уравнению. При этом вектор состояния системы будем понимать как расширенный вектор состояния, включающий все переменные, входящие в первоначальное дифференциальное уравнение системы, и все другие случайные функции, которые приходится вводить, чтобы привести дифференциальные уравнения к системе стохастических дифференциальных уравнений первого порядка. Тогда стохастическое дифференциальное уравнение, определяющее вектор состояния системы Z, и формула для выходного сигнала системы примут вид

Z = a{Z,i)~, b[Z, t)V, Y = g{Z,t). (20)

Обычно случайные возмущения в дискретных элементах систем автоматического управления всегда независимы от воз.муще-ний, действующих на объект управления, поэтому случайные величины в (1.67а) не зависят от N [t). Вот почему обычно принимают белый шум V [t) и последовательность {V,] независимыми.

Так как значение выходного сигнала системы Y в каждый момент времени t зависит только от состояния системы в тот же момент f (т. е. представляет собой результат безынерционного преобразования вектора состояния Z), то все вероятностные характеристики выходного сигнала выражаются через соответствующие характеристики вектора состояния элементарными формулами теории вероятностей [ТВ, п. 3.3.5 и гл. 5). Поэтому в дальнейшем мы будем определять только вероятностные характеристики вектора состояния системы.

Белый шум в дифференциальном уравнении (20) будем понимать как белый шум в строгом смысле (п. 3.4.2).

Начальное значение Z{li,)~Z„ вектора состояния всегда будем считать независимым от белого шума V (i) при t > tg (точнее, от приращений W (s) - W (t) процесса с независимыми приращениями, производной которого служит белый шум V при s-tto).

В случае стохастической системы, для которой вектор состояния определяется уравнениями вида (1.67а) при сведении дифференциального уравнения системы (1.67а) к стохастическому дифференциальному уравнению целесообразно свести разностное уравнение системы (1.67а) к стохастическому разностному уравнению с независимыми случайными величинами. С этой целью предположим, что случайные величиньиУ,; в (1.67а) определяются формулой = хр, (U,) и разностным уравнением

t/,,i = o),(t/,. V,),

где (0 - некоторые функции указанных аргументов, а {V,}-последовательность независимых случайных величин. Тогда, расширяя вектор Zft путем объединения его с вектором U„ получим для расширенного вектора состояния Z=[ZyZ"yY систему уравнений

Z = a(Z, t) + b{Z, i)V, Zl,id>,{Zk, V,),

z, = [z;za-=Z(>*), Z"(0= iziUAt).