gii(U т) gxz(t, т) ... gin(t, г)-

g2l(t, Т) gii(t, Т) ... g2n(.t< Т)

-.gml(t, Т) grm(t, г) ... gmnit-).

можно записать предыдущую формулу в виде

(10)

y{t)=] g{t, x)x{x)dx, (11)

где x{t) = \x,{t) ... x„{t)]\ y{t) = [c/,{t) ... г/,ЛОГ-векторные входной и выходной сигналы, представленные в виде матриц-столбцов.

Матричная функция g{t, т), определяемая формулой (10), называется весовой функцией линейной системы с п входами и т выходами.

Из сказанного в п. 1.2.3 следует, чгэ для устойчивости многомерной линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все элементы матрицы g{t, х) удовлетворяли условию (9):

I \gkhii, )\dx < сх> {k = \, т; h=l, п). (12)

- 00

Для физически возможной линейной системы согласно определению

g{t, т) = 0 при x>t (13)

и формула (11) принимает вид

y{t)=\g{t, x)x{x)dx, (14)

где -момент начала работы системы.

реакции на каждом выходе на сигнал, действующий только на каком-нибудь одном входе, применить формулу (8). Суммируя полученные результаты для каждого отдельного выхода по всем входам, найдем все выходные сигналы рассматриваемой линейной системы, соответствующие одновременному действию всех входных сигналов.

Ш Таким образом, выходные сигналы yi{t), .. ., y{t) линейной системы с п входами и т выходами выражаются через ее входные сигналы Xi{t), x„{t) формулой

г/Л0=2 ] gkhit x)x(x)dx {k = \, ...,т). Вводя матрицу

г/2 (О = 7: j -)/ 1 cos соо г) sin соо - т)

X (т) dx.

Таким образом, весовая функция рассматриваемой системы представляет собой матрицу-столбец

g{t, т) = где

U21 [t, х)

T) = e-E<-)/sincOo(-T)l(-T).

coswo (~т)--- sin щ {t - x)

1.2.5. Типовая структура технических систем. В задачах практики обычно удается представить модель любой технической системы с конечномерными векторами входного сигнала, выходного сигнала и состояния в виде соединения конечного числа линейных систем и безынерционных нелинейных звеньев. Мы говорим о безынерционных нелинейных звеньях, имея в виду, что практически любая нелинейность в технической системе дает на выходе определенную функцию текущего значения ее входного сигнала. А именно значение выходного сигнала нелинейного звена в любой момент t представляет собой определенную функцию значения его входного сигнала в тот же момент t и не зависит от значений входного сигнала до момента t:

л(0 = Ф(1(0).

где через %{t) и x\{t) обозначены входной и выходной сигналы нелинейного звена. Функция ф полнсстью характеризует безынерционное нелинейное звено и поэтому принимается за его характеристику ([57], § 8.2).

Входной сигнал нелинейного звена в общем случае представляет собой вектор, компонентами которого служат некоторые

Ясно, что линейные системы примеров 6 - 8 физически возможны, поскольку они представляют собой реальные электрические цепи. Поэтому они удовлетворяют условию (13).

Пример 9. Если выходными сигналами колебательного контура при мера 5 считать напряжение на конденсаторе и ток в цепн у, то к урав. нениям примера 5 добавится соотношение 1/2 = или у - Су. Отсюда ясно, что одной компонентой весовой функции рассматриваемой системы с одним входом и двумя выходами служит весовая функция, найденная в прил!ере8, а для нахождения другой компоненты следует продифференцировать полученное в примере b выражение первого выходного сигнала

и результат умножить на С. Тогда, имея в виду, что T - LC, получим t

*) Выходной сигнал обычно представляет собой известную функцию вектора состояния системы и времени.

переменные состояния системы и, мэж;т быть, некоторые входные сигналы системы.

1.2.6. Дифференциальные системы. Большую часть линейных систем, встречающихся в технике, составляют системы, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, вытекающими из законов физики. При этом обычно всегда эти уравнения можно представить в стандартной форме Коши, т. е. путем ввода, в случае необходимости, дополнительных переменных состояния представить их в виде системы уравнений первого порядка, решенных относительно производных. Добавив к уравнениям всех линейных частей системы зависимости между входными и выходными сигналами всех нелинейных звеньев, получим систему нелинейных дифференциальных уравнений в форме Коши, описывающую нелинейную систему.

Обозначим через z (t) - [г [t) ... Zp {t)Y вектор состояния системы, через x{t) = [xi (/)... x„ - векторный входной сигнал, а через y{t) = \iji{t) .. . y„{t)y - векторный выходной сигнал. Тогда дифференциальные уравнения, описывающие поведение системы, в общем случае запишутся в виде *)

2 = /(2, X, t), y = g{z, t), (15)

где /-/-мерная векторная функция векторов z, х я времени i, а -т-мерная векторная функция вектора г и времени t.

Систему с конечномерными вектором состояния и значениями входного и выходного сигналов, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением и формулой для выходного сигнала вида (15), будем для краткости называть дифференциальной системой.

При данном начальном состоянии системы Zf, = z{t„) уравнения (15) полностью и однозначно определяют оператор системы. Заметим, что от начальных условий всегда можно избавиться, включив их в вектор входного сигнала. В самом деле, уравнения (15) с начальным условием z{to) = Za можно написать в виде

2 = /(2, X, t)-hz,8{t-t,), yg{z, t) (16)

и интегрировать их при нулевых начальных условиях 2 = 0 при t - to-{-s при сколь угодно малом е > 0. Приняв 2 за дополнительную компоненту вектора входных сигналов, т. е. приняв за входной сигнал (« + ;0)-мерный вектор x{t) = [zlXy{t) .. . xit)], можем утверждать, что уравнения (16) с нулевыми начальными условиями полностью определяют оператор системы. В дальнейшем мы на будем включать начальные условия в состав входного сигнала. Эго удобно делать для линейных систем, когда за их характеристики принимаются весовыз функцчи. Мы же