246 I I. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ Фнкции

Согласно (17) взаимная спектральная плотность компонент X {() н Y {t) ционарной векторной случайной функции [X{t)Y(t)Y выражается через взаимную ковариационную функцию формулой

со 00

:У

г О

- x о

- 00 о

Зыполнив интегрирование, получим

Эта формула показывает, что взаимная спектральная плотность действительных случайных функций может быть комплексной.

Пример 17. Найти взаимную ковариационную функцию случайных функций

Y(t) = X (t) -f Х, (t), Z (t) = X (/) --X, (t),

где X (/), Xi (t) и X (t) - некоррелированные стационарные случайные функции с известными ковариационными функциями. Показать, что случайные функции Y (i) и Z (t) стационарно связаны, и найти их взаимную спектральную плотность.

По определению взаимной ковариационной функции имеем

KyAh, t,)MY0(ti)Z<>(t2)* = MX0{ti)X«(t2)*-[-

+ MXl (tl) {t2)* + MX<> (tl) Ха" (t2)* + MXl (tl) A1 (t,)*,

или, так как случайные функции X(t), Xi(t) и Хз (/) не коррел.чрованы,

Куг (tl, ti)=MXo (tl) хо (ti)* = kx (ti-ti).

Отсюда видно, что случайные функции Y (t) и Z (t) стационарно связаны и их взаимная ковариационная функция совпадает с ковариационной функцией случайной функции X (t). Следовательно, и взаимная спектральная плотность случайных функций Y (t) и Z (t) совпадает со спектральной плотностью случайной функции

Syz((i>) = Sx((>)).

4.2.5. Свойства спектральной плотности. В соответствии с общими свойствами интенсивности процесса с некоррелированными приращениями и соответствующего белого шума спектральная плотность s{uj) стационарной случайной функции X{t) неотрицательна в случае скалярной X (t) и представляет собой неотрицательно определенную матрицу в случае векторной X(t).

Второе и третье свойства спектральной плотности действительной стационарной случайной функции вытекают из второго свойства ковариационной функции

► На основании формулы (17) и этого свойства

- со

= i I А;Л-т)-е-»т = С (р) "-о-

- со - X

Но на основании той же формулы (17)

2п ,

kx{a)e"" da

Таким образом, спектральная плотность действительной стационарной векторной случайной функции обладает эрмитовской симметрией (представляет собой эрмитовскую матрицу):

► На основании формулы (17) и того же свойства коварна-ционксй функции

со о;

- со

= i \ K{ye-<da = sAy- <

- со

Таким образом, при изменении знака со спектральная плотность действительной векторной стационарной случайной функции переходит в транспонированную матрицу:

В частном случае спектральная плотность действительной стационарной случайной функции представляет собой четную функцию:

Sx {- = («)•

Из выведенных второго и третьего свойств спектральной плотности действительной стационарной векторной случайной функции вытекают следующие свойства взаимных спектральных плотностей действительных стационарных случайных функций:

sp (ю) = s, (ю), s*p (- со) = s (со) = sp (со).

Вся изложенная теория стационарных случайных функций относится также к стационарным случайным функциям векторного аргумента /. В этом случае со представляет собой вектор

-H = i f 6(T)e---dT = .

Таким образом, спектральная плотность стационарного белого шума X (/) постоянна и равна So == v/2n. Именно вследствие этого случайные функции такого рода называются белыми шумами по аналогии с белым светом, все спектральные компоненты которого имеют одну и ту же интенсивность.

Подчеркнем, что спектральная плотность So стационарного белого шума и его интенсивность v связаны соотношениями

So = v/2n, v = 2nSf,. (21)

При измерении частоты в Гц спектральная плотность стационарного белого шума Oo = 2nSo совпадает с его интенсивностью v. 4.2.7. Интервал корреляции стационарной случайной функции.

В соответствии с определением п. 2.2.5 интервал корреляции стационарной случайной функции X (i) и интенсивность аппроксимирующего его белого шума вычисляются по формулам

00 со

= Y i v= J ЙЛт)Л=2т,0,.

- (Ю - 00

Интересно отметить связь между интервалом корреляции и спектром стационарной случайной функции. Оказывается, что чем шире полоса частот, в которой спектральная плотность заметно отличается от нуля, тем меньше интервал корреляции, тем ближе случайная функция к белому шуму. Это легко объясняется тем.

(матрицу-столбец) той же размерности п, что и вектор /, а произведение со/ или сот следует понимать как скалярное произведение соответствующих векторов at или сот соответственно. При этом множитель 2я во всех формулах заменится множителем (2)".

4.2.6. Стационарный белый шум. Хотя спектральные разложения стационарных случайных функций применимы только к с. к. непрерывным случайным функциям, их часто формально применяют и к обобщенным случайным функциям-белым шумам.

Предположим, что X{t) - белый шум постоянной интенсивности V. Его ковариационная функция определяется формулой

KAh, /,) = v6(/i-/,).

Эта формула показывает, что в случае постоянной интенсивности ковариационная функция белого шума зависит только от разности аргументов т = /, -/j. Вследствие этого белый шум постоянной интенсивности называется стационарным белым шумом.

Найдем спектральную плотность стационарного белого шума X{t). По формуле (17) получаем