x{t)= ] x{T)8{t - x)dx. (6)

- СО

Отсюда на основании принципа суперпозицлп получаем следующее выражение выходного сигнала:

г/(/) = Лл;{/)= J л;(т)Л<б{/-т)йт, (7)

- со

где индекс t у оператора А под знаком интеграла показывает, что этот оператор действует на функцию б(/ -т), рассматриваемую как функция t при фиксированном значении т. Формула (7) показывает, что для нахождения реакции линейной системы на произвольный входной сигнал x{i) достаточно знать ее реакцию на единичный мгновенный импульс б-т), действующий нанес в произвольный момент х. Эта реакция зависит от переменных t и т, т. е. от момента действия импульса х и текущего момента t:

g{t, т) = Л,6{-т).

Функция g{t, х), определяемая этой формулой, является исчерпывающей характеристикой линейной системы и называется ее весовой или импульсной переходной функцией. Таким образом, весовая функция линейной системы представляет собой ее реакцию в момент t на единичный импульс, действующий в момент х.

Пользуясь понятием весовой функции, можно записать зависимость (7) между входным и выходным сигналами в виде

у(/)= \ g{t, x)x{x)dT. (8)

Принцип суперпозиции значительно облегчает исследование линейных систем по сравнению с нелинейными. Благодаря принципу суперпозиции теория линейных дифференциальных уравнений разработана в самом общем виде для уравнений любого порядка, в то время как теория нелинейных дифференциальных уравнений развита значительно слабее.

Уравнения, описывающие поведение линейной системы, всегда линейны. И наоборот, если все уравнения, описывающие ггаве-дение системы, линейны, то данная система линейна. Если среди уравнений, описывающих поведение системы, есть хотя бы одно нелинейное, то система нелинейна.

1.2.3. Весовая функция одномерной линейной системы. Рассмотрим одномерную линейную систему. Ее входной сигнал как непрерывную функцию можно представить разложением на бесконечно малые мгновенные импульсы {ТВ, приложение 1)

y(t)= 5 x(x)drh[t. т).

где h(t, т) - функция ограниченной вариации переменной т при любом t, а индекс т у знака дифференциала указывает, что интегрирование производится по функции h(t, т), рассматриваемой как функция т при фиксированном t. В задачах практики встречаются только такие системы, для которых h(t, т) при любом t имеет производную по т, возможно, содержащую линейную комбинацию 6-функций. Положив g{t, x) = dh(t, т)/3т, получаем (8). Условие ограниченности вариации h{t, т) по т дает необходимое и достаточное условие устойчивости системы (9). Если вариация h(t, т) не ограничена, то система неустойчива.

Совершенно так же из теоремы Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала на пространстве непрерывных функций с непрерывными производными до порядка включительно следует формула (8) для случая раз непрерывно дифференцируемого входного сигнала, причем в этом случае g(, т) может содержать и линейную комбинацию производных б-функций до порядка А/ включительно. Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы (9) заменится условием

5 5 (x-a)N--g(t, о) da

dx < со.

Пример 6. Чтобы найти весовую функцию электрической цепи примера 3, проинтегрируем последнее уравнение этого примера, считая, что входное напряжение прикладывается в момент /"о. Тогда получим при t > tf

y(t) = je-tl\el х(х) dx.

Таким образом, оператор любой линейной системы может быть представлен в форме линейного интегрального оператора.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно выполнение условия ([57], § 6.1)

5 ( T)dT< оо. (9)

- со

Для линейной системы говорят об устойчивости без указания режима ее работы, так как она либо устойчива во всех режимах, либо неустойчива во всех режимах.

Из общего условия устойчивости (9) выводятся частные критерии устойчивости для различных классов линейных систем ([57], § 6.2, 6.3).

Для читателей, знакомых с элементами функционального анализа, заметим, что формула (8) по существу вытекает из известной теоремы Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала на пространстве непрерывных функций (40, 51]. Значение выходного сигнала y{t) при фиксированном t представляет собой линейный функционал от входного сигнала x(t). Из определения устойчивости следует, что для устойчивой линейной системы этот функционал непрерывен. Поэтому на основании теоремы Рисса

Сравнив эту формулу с (8) и приняв во внимание, что х(т)=-;0 при т < о. находим

git, .)=J,.-(-)/,( x),

где 1 (s)-единичная ступенчатая функция, равная 1 при s>0 и О при S < 0.

Пример 7. Для цепи примера 4, считая, что х (т) = О при т < о. получаем

Сравнив эту формулу с (8), находи.м

Пример 8. Для колебательного контура примера 5 t

х(х)с1х.

,-£(<-T)/rgjj, ai„{t - T)x{T:)dx,

где а>д = У]-/Т. Отсюда находим

g{t, x)=e-S(-)/J"sincoo(-T)l(~T).

1.2.4. Весовая функция многомерной линейной системы. Рассмотрим линейную систему с п входами и пг выходами.

На основании принципа суперпозиции действие каждого входного сигнала на многомерную линейную систему можно рассматривать отдельно, а затем результаты действия отдельных входных сигналов на каждом выходе просуммировать.

Для нахождения реакции на k-м выходе линейной системы на сигнал, действующий на одном только h-м входе, можно рассматривать эту систему как систему с одним входом и одним выходом. Тогда для вычисления реакции на k-м выходе системы на любой сигнал, действующий на h-м входе, при отсутствии сигналов на остальных входах, достаточно будет знать соответствующую весовую функцию g/,, {t, х). Эта весовая функция представляет собой реакцию на k-м выходе системы на единичный импульс, действующий на h-м входе в момент т, при отсутствии сигналов на остальных входах. Совокупность весовых функций gi,f,{t,x) {k=l, . . ., т; h=\, •.,«), соответствующих всем входам и всем выходам, является исчерпывающей характеристикой многомерной линейной системы.

Зная весовые функции многомерной линейной системы, соответствующие всем входам и выходам, можно для вычисления ее