-X- + XV

к уравнению Ито, если V (t) - нормально распределенный белый шум единичной интенсивности (производная стандартного винеровского процесса).

В данном случае ai(x.t) - -л:, b(x,t) = x и формула (85) дает a{x,t) = -лг- + бх Соответствующее уравнение Ито (определяющее тот же случайный процесс X (/)) имеет вид

= -Х >~QXXV. dt

Пример 28. Уравнение Ито, соответствующее уравнению с О-диффе-ренциалом

jV£g-X.sin X-V, dt

где V (t) - нормально распределенный белый шум постоянной интенсивности V, имеет вид

= е-Х +sin 2X + sin Х. у.

3.6.6. о численном интегрировании стохастических дифференциальных уравнений. При исследовании сложных систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, широко применяется метод статистического моделирования [ТВ, § 8.4). Моделирование таких систем на цифровых ЭВМ включает численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. В соответствии с определением стохастического дифференциального уравнения (77) или (79) как сокращенной формы записи соответствующего интегрального уравнения (78) численное 1П1тегрирование стохастических дифференциальных уравнений имеет некоторые особенности. Дело в том, "то все численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, кроме простейшего метода Эйлера, основаны на вычислении приращений искомых функций на каждо.м шаге путем применения интегральной теоремы о среднем значении. В соответствии с этим правые части уравнений (производные искомых функций) берутся в средних точках интервалов. Различные методы численного интегрирования отличаются один от другого по существу только способом приближенного нахождения средних значений правых частей уравнений. К стохастическим интегралам теорема о среднем значении неприменима. Однако

Легко видеть, что преобразование уравнения с 9-дифферен-циалом в уравнение Ито и наоборот возможно только в случае дифференцируемой по X функции Ь{х, t). Если функция Ь{х, t) не имеет первых производных по компонентам вектора х (хотя бы разрывных), то уравнения Ито, определяющего тот же процесс, что и данное уравнение с 9-дифференциалом, не существует.

Пример 27. Привести уравнение с 9-дифференциалом

ДЛЯ стохастических интегралов от неслучайных функций справедлив некоторый аналог теоремы о среднем, показывающий, что наилучшую аппроксимацию стохастического интеграла от непрерывной неслучайной функции дает произведение значения этой функции в некоторой средней точке интервала интегрирования на приращении процесса, по которому производится интегрирование на этом интервале (п. 3.1.5). На основании этой теорелш! все методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений можно применять к стохастическим дифференциальным уравнениям, у которых коэффициент при белом шуме (или, что одно и то же, перед dW) является детерминированной функцией времени /, т. е. не зависит от X,

X--=a{X,t)-rb(t)V. (87)

Если же функция Ь{Х, t) в (77) зависит от X, то второй интеграл в (78) представляет собой стохастический интеграл от случайной функции. Поэтому метод численного интегрирования таких уравнений должен выбираться в зависимости от того, в каком смысле понимается стохастический интеграл. В случае уравнения Ито (77) или (79) приращение процесса X{t) на интервале [t, Ы) должно определяться по формуле (59):

АХа{Х, t)Atb{Xt, t)AW, (88)

Что соответствует методу численного интегрирования Эйлера. Таким образом, уравнения Ито можно интегрировать методом Эйлера. Однако для повышения точности вычисления первого слагаемого можно взять значение функции а{Х, t) в некоторой средней точке интервала интегрирования [/, / А/). При этом можно использовать любой метод численного интегрирования, например широко применяемые методы Адамса и Рунге- Кутта. Но значение функции b[Xf, i) всегда приходится брать в начальной точке интервала интегрирования. В случае уравнения в 9-дифференциалах следует брать значение функции Ь(Х,, /) в точкеВАЛ Однако для приближенного нахождения значения функции b{Xx,t) в этой точке пришлось бы изобретать новые методы численного интегрирования.

При моделировании стохастических дифференциальных уравнений с помощью аналоговых вычислительных устройств в случае функции Ь(Х, t), зависящей от X, необходимо предварительно привести уравнения к форме Стратоновича. Объясняется это тем, что при таком моделировании белый шум приходится заменять процессом с малым, но все же отличным от нуля интервалом корреляции, так как белый шум физически нереализуем (п. 2.2.5). А в этом случае, как будет показано в п. 5.1.2, моделируемый процесс будет близким к решению сто-

.хастического дифференциального уравнения только в том -случае, когда это уравнение понимается как уравнение Стратоновича.

Само собой разумеется, что при моделировании процессов, определяемых стохастическими дифференциальными уравнениями, необходимо моделировать случайные величины или случайные процессы. При численном интегрировании стохастических дифференциальных уравнений на ЭВМ необходимо на каждом шаге моделировать приращение AIF случайного процесса W (t).

При моделировании с помощью аналоговых устройств необходимо генерировать широкополосные случайные процессы (т. е. процессы с малыми интервалами корреляции) *).

В последнее время созданы новые специальные методы численного интегрирования стохастических дифференциальных уравне-!шй, более эсфсктивныс, чем обычные методы численного интегрирования **).

Само собой разумеется, в результате численного интегрирования стохастического дифференциального уравнения, так же как и при его моделировании с помощью аналоговых устройств, всегда получается приближенно реализация решения, соответствующая ьспользованнсй при интегрировании реализации процесса W (t) с независимыми приращения.ми или пшрокополосного процесса, моделирующего белый шум V (i).

В задачах практики обычно интересуются поведением не реализаций решений стохастических дифференциальных уравнений, а некоторых их статистических характеристик, например .моментов, семиинвариантов или квазимоментов. Уравнения для этих характеристик будут выведены в гл. 5 и 6. Они представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения, которые можно интегрировать любым стандартным методом численного интегрирования. Именно это направление в прикладной теории стохастических дифференциальных уравнении изучается в этой книге. Поэтому мы не будем изучать вопросы моделирования процессов, определяемых стохастическими дифференциальными уравнениями, и численного интегрирования таких уравнений.

3 .Л Д .Л Ч И

3.1. Вывести формулы для стохастических дифференциалов Ито функций стандартного винеровского процесса, приведенных в табл. 1 приложения 6. Получить аналогичные формулы для стохастических 9-дифференциалов.

3.2. Вывести формулы для стохастических дифференциалов Ито функций векторного винеровского процесса, приведенных в табл. 2 приложе-

*) Для того чтобы стационарный процесс имел малый интервал корреляции, необходимо, чтобы его спектральная плотность была приблизительно постоянной в достаточно большом диапазоне (в достаточно широкой полосе) частот (п. 4.2.7).

**) См., например, Р. М и к у л е в и ч у с, Э. Платен (R. Mikulevicus, Е. Platen). Time discrete Taylor approximation tor It6 processes witti jump component Matti. Naclir.-1988.-V. 138,-S. 93-104.