*) В случае векторных х и у модуль понимается как модуль (евклидова норма) вектора, т. е.

xL \у\]/ у1

Это определение устойчивости не совпадает с определением устойчивости решения дифференциального уравнения. Физически возможная дифференциальная система устойчива в данном режиме тогда и только тогда, когда соответствующее решение ее дифференциального уравнения асимптотически устойчиво по Ляпунову [52, 48].

детерминированная система называется устойчивой в данном режиме, если при любом е > О для данного режима существует такое б=б(е) > О, что \At/{t)\<e при всех t > t, когда Дл;()<б при всех ftg *).

Стохастическая система называется устойчивой в данном режиме почти наверное (с вероятностью 1), если изменение ее выходного сигнала {i) в этом режиме сколь угодно мало с вероятностью 1 при любом достаточно малом изменении входного сигнала Ax(/).

Стохастическая система называется устойчивой в данном режиме по вероятности, если при люгом е > О существует такое б == б (е) > О, что

lim Р( sup \Y{t) \ >s\ = 0 ; 0= \ о J

при всех Ах{!), удовлетворяющих условию sup !Ах{/) < б.

i > t„

Стохастическая система называется устойчивой в банном ре-жиж в р-среднем, р > О, если математическое ожидание M\diY {t) в этом режиме остается сколь угодно малым при всех достаточно малых изменениях входного сигнала Ах(/).

Из изрестного неравенства Чебышева {ТВ, п. 6.1.3)

р {\Y \ < м\Y \pitp

следует, что стохастическая система устойчива по вероятмости, если она устойчива в р-среднем. Точно так же из устойчивости почти наверное вытекает, устойчивость по вероятностей. Из р-уст1ойчивос!1:и при данном р следует р-устойчивость при всех меныиих р. Обратное в общем случае неверно.

Говоря об устойчивости системы, в задачах практики всегда имеют в виду устойчивость всех реализаций происходящих в ней процессов. С этой точки зрения наибольшее значение для приложений имеет понятие устойчивости почти наверное. Однако в задачах практики часто приходится ограничиваться устойчивостью в среднем (/7=1) или в среднем квадратическом (0 = 2).

Класс систем, устойчивых в среднем квадратическом, и класс систем, устойчивых почти наверное, являются подклассами класса

систем, устойчивых по вероятности, причем оба эти подкласса имеют непустое пересечение.

1.2.2. Линейные и нелинейные системы. Детерминированная система называется линейной, если при любых числах N, Ci, ...

. . . , Сд, и при любых функциях Xi{t), . . ., Xjr{t) t N 1

U=I J V=I

Это определяющее свойство линейных систем обычно называется принципом суперпозиции. Поэтому линейные системы можно определить как такие системы, для которых справедлив принцип суперпозиции.

Оператор А, обладающий свойством (1), называется линейным. Таким образом, детерминированная система линейна тогда и только тогда, когда ее оператор линеен.

Для того чтобы система была линейной, неоЗходимо и достаточно выполнение следуюиих двух условий:

1) при суммировании любых двух входных сигналов соответствующие выходные сигналы суммируются;

2) при любом усилении входного сигнала без изменения его формы выходной сигнал усиливается с тем же коэффициентом, тоже не изменяя своей формы.

Необходимость этих условий очевидна. Так как формула (1) справедлива для любого N и любых чисел С], Сдг, то, полагая N = 2, Ci = C2=l, получаем

А {x,{t)+x,{t)} = Axг{t) + Ax,{t). (2)

Полагая N = 1, получим при произвольных с и x{t)

А {cx{t)}-=cAx{i). (3)

Для доказательства достаточности условий (2) и (3) заметим, что из этих условий вытекают формулы

А {с,х, (t) + с,х, {t)}=A {сл (0} + [сЛ {Щ =

c,AxAt)-r-cAx{t), (4)

Vv=I J

= I 2j (t) + Cjx:,- (t) J = I Д cxit) J + A {сд.Хд, (t)} =

tN-l \

= Л I Д CvXv(0 +cAx.{l), (5)

справедливые для любых чисел N, с, с и для любых функций Xi{t), Xj{t). Формула (4) показывает, что из условий (2) и (3) следует справедливость принципа суперпозиции

ДЛЯ случая двух слагаемых. Формула (5) показывает, что принцип суперпозиции выполняется для N слагаемых, если он выполняется для N - 1 слагаемых. Из этой формулы по индукции следует справедливость принципа суперпозиции при любом числе N слагаемых, поскольку он справедлив для случая двух слагаемых. Таким образом, принцип суперпозиции является следствием условий (2) и (3), что и доказывает достаточность этих условий. М

Подчеркнем, что для линейности системы необходимо, чтобы принцип суперпозиции соблюдался при любом числе слагаемых,

при любом выборе постоянных Су и функций Xy(t).

Система называется нелинейной, если принцип суперпозиции для нее не выполняется или выполняется только при некоторых вполне определенных N, Xi{t), Xj{t), Cj, . . ., с v Оператор детерминированной нелинейной системы всегда нелинеен.

Примерами линейных операторов могут служить оператор дифференцирования

y{t)Dx(t)-x(t),

линейный интегральный оператор

и более общий линейный интегро-дифференциальный оператор

N t

К линейному интегральному оператору или к линейному ин-тегро-дифсзеренциальному оператору приводится оператор решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения

(О у"" {t)+„-1 {t) у" -»{) + • + «I (О у it)+«о (О У (О = = [t) х<«> (О+b ,{t) х<»-" (О + ... + h (О X (О+ь„ {t) X (О.

в качестве примеров нелинейных операторов можно привести нелинейный интегральный оператор

г/(0=5ф(х(г), х, t)dT, и

где ф(х, т, ) -данная функция, нелинейная относительно переменной X, и оператор решения нелинейного дифференциального уравнения

y"{t) + ksmy{t)x{t), описывающего, в частности, колебания маятника.