*) Формулы (43), (45) и (47), конечно, преобразуются к (39) -(41) заменой переменных у = с{х). Однако в приложениях это нецелесообразно.

3.4.5. Общая форма процесса с независимыми приращениями.

На основании (37) любая линейная комбинация независимых общих пуассоновских процессов определяется формулой

2сЛ(0= ] 2 cxPt, dx).

Это дает основание принять за общую форму процесса с независимыми приращениями X(t) выражение

X(0=-W(0+ S с(х)Р(/, dx), (42)

л"

где W (О -винеровский процесс, Я (/, Л) -пуассоновский процесс как функция t и пуассоновская стохастическая мера как функция множества А, а с{х) - векторная функция, отображающая R в пространство значений процесса X (t) при каждом t.

Совершенно так же, как была получена формула (39), выводится формула для одномерной характеристической функции gi{X; t) процесса X{t), определяемого формулой (42):

1пё-1(Я; t) = -lx-kit)X+ [e>M-l]liit, x)dx, (43)

где \i{t, x) определяется формулой

5 л(/, x)dx = MP{t, А). (44)

Из формул (42) и (44), имея в виду, что математическое ожидание винеровского процесса равно нулю (п. 3.4.3), получаем

MX{i)= 5 с(х)л(/, x)dx. (45)

При этом характеристическая функция gi(k; t) центрированного процесса

Х°(/) = Х(0 -/ИХ(0 = Г(/)+ [c{x)P>[t, dx) (46)

R"

определится формулой nglik; t) - -k-k{i)k- \ [еЛм 1 гЯс(х)]л(/, x)dx*).

R"

(47)

X(0 = ir(/)- \ xPo{t,dx)-\ \ xP{t, dx),

о < I л: I < 1 I л: Г> 1

где 47 () - процесс с непрерывными реализациями с нормально распреде. ленными приращениями, Р (/, А) - пуассоновский процесс по и пуассо-новская стохастическая мера по Л с независимыми значениями на непересекающихся множествах, Р° ( A) = P{t, A)-MP{t, Л) -центрированная пуассоновская мера. Соответственно, одномерная характеристическая функция процесса с независимыми приращениями в общем случае выражается формулой

rigi.ik t) = liig„{X)iXm{f)~Yl4{t)X +

i- j {e"--l-iXx)ii{t, x)dx+ j {e-l) Hit, x)dx,

0<дг<1 UI>1

где (Я.) - произвольная характеристическая функция, не зависящая от t. Пример 15. Для процесса Коши (пример 13), пользуясь формулами

1 г COS А,д: - 1 , , , ,

7Г 3 х dx = -\X\,

- со

CsinXx-Xx С sinX

-1 \х\>1

Получаем

-1 \х\>1

Приращение процесса с независимыми приращениями на любом интервале обладает тем свойством, что его можно представить в виде суммы любого числа независимых случайных величин. Для этого достаточно разбить данный интервал на соответствующее число частей и представить приращение процесса на этом интервале в виде суммы его приращений на выбранных частных интервалах. Это значит, что распределение приращения процесса с независимыми приращепиями должно быть безгранично дели-мым [И]. Из теории безгранично делимых распределений известно, что всякое безгранично делимое распределение можно представить в виде композиции нормального и пуассоновских распределений, точнее, логарифм характеристической функции безгранично делимого распределения можно представить в виде суммы логарифма характеристической функции нормального распределения и интегралов вида (39) и (41). Однако в общем случае математическое ожидание процесса X (/) может не существовать. При этом интеграл в (40) или (45) может расходиться как из-за слишком быстрого роста функции ц(1, х) при л: - О, так и из-за слишком медленного убывания ее при X -*• 00. Однако во всех случаях интеграл

\x\li{t, x)dx

распространенный на все пространство RJ с выколотым началом координат, сходится. Поэтому, если разбить пространство R1 на две области 0<(а:<1 и д:>1, тов формуле (39) будет сходящимся интеграл по области х > 1, а в формуле (41) - интеграл по области 0< д:<1. Поэтому любой с. к. непрерывный процесс с независимыми приращениями X (t) в общем случае может быть представлен формулой

Следовательно, процесс Коши представим в виде

X{t)= xPO{t, dx)-i xP(t,dx),

-1 ЛГ>1

и ц (t, x) = at/nx.

Примечание. Мы изложили некоторые результаты теории процессов с независимыми приращениями, предполагая для простоты, что математическое ожидание пуассоновской меры P{t, А) представимо интегралом (44) с функцией }i{t, х), возможно, содержащей линейную комбинацию б-функций переменной х. Однако в теории процессов с независимыми приращениями обычно рассматривают более общий случай, когда mp{t, Л) = = MP(t, А) непредставимо интегралом (44). В этом случае римановы интегралы по X во всех Предыдущих формулах заменяются интегралами Лебега по мере tnp(t. А).

3.4.6. Интеграл Ито. Пусть (/) -действительный скалярный случайный процесс с независимыми приращениями с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией

min (tl, ti)

где v(/) - непрерывная неотрицательная функция, X[t) - с. к. непрерывная скалярная случайная функция с конечным моментом второго порядка, такая, что случайный вектор с компонентами X(/i), W(si), W{Sm) не зависит от W {s) - W {t)

при любых N, М, ti< ... <tNi, Si < ... <SMt <s, a = /Г < A" < •. . <iNl = b (л = 1, 2, . . .) - последовательность

разбиений {P„} интервала {a, b), такая, что

A„ =- max (" - f-lj) -0 при n oo. p

Образуем последовательность сумм

Уп-1>Х(г<">1)[U{tn-W(гг)] («=1,2, ...).

Стохастическим интегралом Ито от случайной функции X[i) по процессу W [t), распространенным на интервал (а, Ь), называется с. к. предел последовательности сумм [28]:

6 Nn

Г=5 X(r)dU7(c) = l.i.m. X{tfU)\W[tf)-W(tli)\. (48)

Обратим внимание на то, что значение случайной функции X{i) для каждого интервала [tfl,, /<f) берется в левом конце этого интервала и это существенно, так как предел в (48) изменится, если заменить X.{tfli) значением X[t) в какой-нибудь другой точке интервала \ifl-, г"."!- Этим стохастические интегралы