служит моделью эдектрического колебательного контура (пример 5) и в то же время моделью малых колебаний маятника в сопротивляющейся среде.

Для сложных систем характерно то, что, как правило, никакая модель не может с достаточной точностью воспроизвести все функции системы. Одни модели могут быть лучше по одним показателям, другие - по другим. Однако ни одна из них не может быть лучшей по всем показателям. Поэтому для сложных систем строят не одну, а несколько моделей и применяют для одних целей (для исследования одних функций системы) одну модель, а для других целей - другие. При этом одни модели могут быть детерминированными, а другие - стохастическими. Так, например, модель завода, учитывающая только среднее число рабочих, ежедневно участвующих в производственном процессе, и среднее количество получаемых за день материальных средств, является детерминированной. Модель того же завода, учитывающая случайные суточные колебания числа рабочих из-за невыхода на работу по различным причинам и случайные суточные колебания получаемых заводом материальных средств, является стохастической. Кроме того, для сложных систем, таких как завод, отрасль промышленности, экономика края или страны, характерно то, что они состоят из большого числа более простых систем (подсистем), вследствие чего управление ими невозможно без соответствующей организации внутри самой системы, без организации управления каждой отдельной подсистемой и без установления определенных взаимодействий между всеми подсистемами. В результате система управления такой системой получается, во-первых, иерархической, а во-вторых, распределенной по элементам системы, составляющей органическое целое с самой управляемой системой. Такие системы, для управления которыми необходимы их предварительная организация и введение элементов системы управления в каждый элемент системы с установлением соответствующей иерархии управления, мы будем называть большими системами. Таким образом, большая система отличается от простой не только высокой размерностью векторов состояния, входного и выходного сигналов, но и тем, что она требует качественно другой организации процесса управления. Вследствие этого для большой системы необходимо строить математические модели всех ее подсистем, а при исследовании функционирования всей системы с помощью моделей ее подсистем часто приходится включать людей для принятия решений на различных этапах функционирования системы, а также для выполнения других функций, которые не поддаются алгоритмизации (математическому описанию).

На первом этапе развития теории управления она изучала только такие системы, математические модели которых можно было построить на основе законов физики. Современная теория

управления изучает процессы управления любыми системами, в том числе и такими, для которых нельзя построить математические модели на основе законов физики и других отраслей науки, пользующихся количественными закономерностями. Для таких систем математические модели обычно строят путем статистической обработки результатов наблюдения работы системы (пример такой модели дан в [12]).

Входной и выходной сигналы любой системы представляют собой функции времени. Если они определены для всех моментов времени, начиная с некоторого начального момента, то модель системы называется непрерывной. Соответственно и саму систему называют в этом случае непрерывной. Если реализации входного и выходного сигналов определены только на дискретных множествах моментов времени, то модель системы называется дискретной. В этом случае и саму систему обычно называют дискретной. Впрочем, дискретные модели часто применяются и для описания поведения непрерывных систем. В частности, для расчетов на цифровых ЭВМ всегда применяются дискретные модели, независимо от того, являются ли соответствующие системы непрерывными или дискретными.

Значения входного и выходного сигналов в каждый момент времени могут быть скалярными, конечномерными векторными или элементами некоторых функциональных пространств (т. е. функциями каких-либо переменных, например, координат точки пространства). В последнем случае система (точнее, ее модель) называется распределенной (или системой с распределенными параметрами). Если и входной и выходной сигналы в каждый момент времени являются скалярными величинами, то система (модель) называется одномерной. Если входной сигнал, или выходной сигнал, или оба они в каждый момент времени являются конечномерными векторами, то система (модель) называется многомерной.

Что касается вектора состояния, то его значение в данный момент тоже может быть скалярным, конечномерным векторным или функцией каких-либо переменных, даже у систем (моделей), у которых значения входного и выходного сигналов в каждый момент являются скалярными или конечномерными векторными.

В этой книге мы будем рассматривать в основном непрерывные модели с конечномерными векторами состояния, входного и выходного сигналов.

§ 1.2. Характеристики систем

1.2.1. Оператор системы. В дальнейшем мы всегда будем считать, что математическая модель изучаемой системы построена, и говорить о системе, подразумевая принятую модель этой системы. В частности, говоря о характеристиках системы, будем иметь в виду характеристики ее математической модели.

*) Строго говоря, 1/(0 представляет собой т-мерный вектор, компоненты которого являются функционалами от х{х), т[о. t\- Для краткости мы называем векторную величину y(t) функционалом, имея в виду /га-мерный «векторный» функционал.

Основной характеристикой системы является ее оператору определяющий механизм формирования выходного сигнала по данному входному сигналу.

Оператор детерминированной системы ставит в соответствие каждому входному сигналу один определенный выходной сигнал. Таким образом, оператор детерминированной системы отображает пространство входных сигналов в пространство выходных сигналов.

Оператор стохастической системы ставит в соответствие каждому входному сигналу определенное распределение выходного сигнала (конечно, зависящее от входного сигнала). Таким образом, оператор стохастической системы отображает пространство входных сигналов в пространство всех возможных распределений на пространстве выходных сигналов.

Входные и выходные сигналы непрерывной системы обычно представляют собой непрерывные ограниченные функции времени. Поэтому оператор детерминированной системы отображает пространство непрерывных функций в такое же пространство.

Пусть х{{) - входной сигнал детерминированной системы, представляющий собой непрерывную л-мерную векторную функцию времени г, г/(г") -выходной сигнал, представляющий собой непрерывную т-мерную векторную функцию t. Обозначим буквой А оператор системы. Соотношение между входным и выходным сигналами детерминированной системы можно записать в виде

y{t)Ax{t).

Эта краткая запись включает всю совокупность .математичесьих операций, которые надо выполнить над функцией x{i), чтобы определить функцию y{t).

Детерминированная система называется .Ьизически возлюу;:,- ой, если значение ее выходного сигнала y{t) в ка>!(дый момент / не зависит от значений входного сигнала х{г) при О t. Таким образом, значение выходного сигнала физически возможной системы y(t) в каждый момент t является функционалом о г входного сигнала х(с), заданного в интервале t„-<.% •< t").

Стохастическая систем; называется физически возможной, если распределение значения ее выходного сигнала Y (t) в лобой момент / не зависит от значений входного сигнала х{т) при

Детерминированная система называется устойчивой в данном режиме, если изменение Аг/(г) ее выходного сигнала yif) в згом режиме остается сколь угодно малым при любом достаточно малом изменении Ал:(/) входного сигнала x(f]. Иными словами.