Y 9(4-i)[X(g-X(, i)J= 5: 9(4-i)X(/ft)-

- i ф X it,.,) = i ф it,.,) X it,) - "2 ф {tn) X (t,)=

= ф it„.,) X it)- ф (/0) X (0) -"i [ф {,)-ф it,.,)] Xit,) =

A= 1

= ф (0 X (0-ф (O X (/„) -2 ф a,) X it,) At.

Отсюда, переходя к с. к. пределу при поо и, следовательно, Аг" О, на основании определения с. к. интеграла получаем формулу интегрирования по частям

S ф (т) dX (т) = ф (О X (О - ф it о) X it о) - S ф () () dr. (16)

Эта формула выражает стохастический интеграл через обычный с. к. интеграл. Вследствие этого она может быть принята за определение стохастического интеграла от неслучайной функции. -4 Покажем еще, что формула с. к. интегрирования по частям (2.74) справедлива и в том случае, когда Zit) представляет собой стохастический интеграл,

Zit)liix)dXix), (17)

и, следовательно, не имеет с. к. производной. Функцию 1)(т) будем предполагать непрерывной.

► Как и в п. 2.4.7, разобьем интервал {f, t) на п равных частей длины А = (/ -г„)/п. Точки деления обозначим t,, . .. •••> n-i. tn-t. По определению с. к. интеграла

t т п ft l

] ц/ix)dxp{о)dX{о) = ].i.m. ifit,.,) tt S i)(a)dX(o).

to to ""** k=l tt

по определению стохастического интеграла

5ф(т)Х(т) = 1л.т. 2 ф(.-г)[Х(У-Х(, 0].

to "-»

Но в силу непрерывности и дифференцируемости функции ф(/) с точностью до бесконечно малых имеем

fe= 1 *

*= /о to

= ф(0 S г(Чт)Х(т)- 5:ф(*) S г)(т)Х(т) =

t n- 1

= ф (0 t (t) dX (T) - 2 ф (,) ij: {tu) {X {t,) - X {t,.,)-\.

to *=

Переходя к с. к. пределу при поо и, следовательно, О,

получаем

J ф (т) dx \ х\ (о) dX (о) = ф (О S г; (т) dX (т) - J ф (т) г) (т) dX (т). (18)

0 0 to to

Это и есть формула (2.74) для случая, когда случайная функция Z{t) представляет собой стохастический интеграл (17).

3.1.5. Аппроксимация стохастического интеграла. Известно, какое большое значение для методов численного интегрирования имеет интегральная теорема о среднем значении. Эта теорема утверждает, что для любой непрерывной функции ф {t) и любой Неотрицательной функции {t)

5ф(т)г)(т)Л = ф(У Jt)(T)dT,

где Ь]. Вводя функцию

4{t) = \{x)dx, t,<a, \U

"«ожем переписать предыдущую формулу в виде

5 ф (т) dW (т) = ф (4) [¥ {Ь) - ¥ {dj\, t, е {а, Щ.

Но В силу ненрерывности функций ф (t) и г(- (t) имеем с точностью до бесконечно малых

Приведенная теорема неверна для стохастических интегралов.

► Действительно, предположив, что она верна, будем иметь

$ф{т)Х{т) = ф,[Х(6)-Х(а)],

где ф, - некоторое число. Чтобы убедиться в том, что это равенство невозможно ни при каком ф«, вычислим дисперсию разности левой и правой частей этого равенства: b ь

= J ф (т) rfX (т) - ф, [X {Ь) ~ X (а)] = \ [ф (t) - ф.] dX.

По формуле (9) находим

Я = Slф(t)-ф.pv(т)dт.

Ясно, что эта величина не может быть равной нулю ни при како.м ф», если не считать тривиального случая постоянной функции ф{0. <

Несмотря на неприменимость теоремы о среднем к стохастическим интегралам, вопрос о приближенном вычислении стохастического интеграла требует определенного ответа. Поэтому поставим задачу: найти такое число ф,, чтобы дисперсия ошибки

t/ = 5 ф () dX (т)-ф, [X {Ь) -X (а)]

была минимальной.

► Предположим, что дисперсия ошибки U минимальна при <р, = ф?. Тогда для любого ф« можем написать

.=iФW-Ф.pv(т)л=5lФ(т)-ф»+ф?-фv(т)dт=

= 5ф{т)~ф».pv(т)dr-f ф»-ф, р5 v(T)dT +

+(ф! -ф.) \ [Ф (т) - Ф] V (т) dx + (ф - ф,) \ - Щ V (т) dx.

Отсюда видно, что минимум D„ достигается при ф« = ф", если выбрать ф° из условия

l[4>{-)-4>l]v{r)dx = 0.