1.1.4. Математическая модель системы. После определения входного и выходного сигналов и вектора состояния системы для получения ее математической модели остается установить соотношения между этими величинами. Эти соотношения могут быть детерминированными или содержать некоторые элементы неопределенности. В последнем случае обычно пользуются статистическим подходом, приписывая случайный характер и соответствующие распределения всем неопределенным величинам.

Таким образом, мы приходим к строгому определению математической модели системы.

Математической моделью системы называется совокупность четырех элементов: 1) пространства состояний, 2) пространства входных сигналов, 3) пространства выходных сигналов и 4) соотношений, связывающих входной и выходной сигналы и вектор состояния системы.

Строго говоря, понятия входного и выходного сигналов и вектора состояния относятся не к самой системе, а к ее математической модели. В действительности состояние любой системы, все внешние воздействия на нее и все ее действия на окружающую среду и, в частности, на другие системы невозможно охарактеризовать никаким обозримым и тем более конечным множеством величин. Поэтому, говоря о входном и выходном сигналах и о состоянии системы, мы всегда имеем в виду входной и выходной сигналы и состояние принятой математической модели системы.

Пример I. Математической моделью движения свободной материальной точки массы т служит второй закон Ньютона

my = x{t).

Входным сигналом при этом служит действующая на точку сила x{t), а выходным сигналом - вектор положения точки (/(/). Состояние точки в каждый момент определяется ее координатами и вектором скорости. Таким образом, вектором состояния точки является шестимерный вектор г = {у, у}. Пространством входных сигналов слул.ит множество всех трехмерных

векторных функций времени. Пространство выходных сигналов представляет собой множество всех непрерывных трехмерных функций времени. Пространством состояний служит шестимерное евклидово пространство.

Пример 2. Математической моделью движения твердого тела с одной неподвижной точкой относительно неподвижных осей gt) (рис. 1) служит система трех динамических уравнений Эйлера:

/гМг + (ty - fx) х<у = (i)

Рис.

И трех кинематических уравнений Эйлера:

Шд; = ф sin О sin ф + О cos ф, (Oj, =гз sin О cos ф-О sin ф, % = Ф cos 0 + ф,

1"де IX, 1у, Iг - моменты инерции тела относительно его главных осей инерции хуг, со, сОу, со -проекции вектора угловой скорости тела на главные оси инерции, My(t), ТИ (О -моменты действующих на тело

сил относительно главных осей инерции, -ф. О, ф-углы, определяющие ориентацию главнык осей инерции относительно неподвижных осей т1. Входными сигналами будут действующие на тело моменты х-М, Х2=т.у, Х3 - М2, а выходными сигналами - три угла Эйлера (/1 = г,\ (/2 = 9, (/з = ф.

Состояние тела в каждый момент времени определяется

-) I-1 тремя эйлеровыми углами и тремя проекциями угловой

/? скорости. Таким образом, вектором состояния является

С-г- шестимерный вектор с составляющими г1=т{), 22 = 0, гз = ф. 24 = 0), 25 = cuy, Z6 = cu2. Пространства входных

- и выходных сигналов и пространство состояний - те же.

Рис. 2 что и в примере 1.

Пример 3. Математической моделью электрической цепи, состоящей из резистора R и конденсатора С (рис. 2), является система уравнений, вытекающая из законов Ома и Кирхгофа:

Ui = Ri, Cdu2/dt = i, Ui--U2 = x,

где i - ток в цепи, «i - падение напряжения на резисторе, «2 - напряжение на конденсаторе, х-входное напряжение. Так как величины щ и i могут быть выражены через «2 и х из третьего и первого уравнений,

«1 = х -«2, i = Ui/R = {x - U2)/R,

то состояние цепи можно характеризовать одной величиной г = «2- Тогда получим дифференциальное уравнение, описывающее изменение состояния цепи со временем:

Tz-+z = x, T = RC.

Приняв за выходной сигнал цепи у напряжение на конденсаторе «2 = г, будем иметь (/ = г. Пространствами входных сигналов и выходных сигналов служит множество всех скалярных функций времени, а пространством состояний - числовая ось.

Пример 4. приняв за выходной сигнал электрической цепи предыдущего примера падение напряжения на резисторе «i, будем иметь уравнение предыдущего примера для перемгнной состояния г = «2 и формулу у~х-г для выходного сигнала. Исключив из этой формулы и уравнения состояния переменную состояния г, получим уравнение, связывающее входной и выходной сигналы цепи:

Ту+у = Тх.

Пространства входных сигналов, выходных сигналов и состояний-те же, что и в примере 3.

Пример 5. Математической моделью колебательного контура (рис. 3) служит система уравнений

Ui = Ri, С du2.ldt = i, Ldi/dt = u3, Ui + u-l-Us - x,

где в дополнение к обозначениям примеров 3 и 4 «3 -падение напряжения на индуктивности L.

5 1Л. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ 23

Так как величины Ui и «з могут быть выражены через i, и х из первого и четвертого уравнений,

Ui = Ri, U3=X-Ri - Lh,

то состояние контура можно характеризовать двумя величинами Zi = i, Z2=ii2- Тогда получим дифференциальные уравнения состояния системы

Lzxx-Rzx - Zi, CzZx.

Приняв за выходной сигнал контура у напряжение на пон- Т"

денсаторе «2 = 22, будем иметь yz. Исключив переменные ? L

состояния 2i и 22, получим уравнение, связывающее вход- -nnr-1

ноп и выходной сигналы контура: Рис. 3

ту+21Гу+у.х, tVlc, i=.rVcJli2.

Пространствами входных и выходных сигналов служит множество всех скалярных функций времени, а пространством состояний - плоскость.

Виды математических моделей. Модель системы называется аетерминированной, если каждой реализации ее входного сигнала соответствует одна определенная реализация выходного сигнала, т. е. если ее выходной сигнал получается как результат некоторого вполне определенного отображения пространства входных сигналов в пространство выходных сигналов. Все модели, рассмогрекные в примерах 1-5, детерминированные.

Модель системы называется стохаагической, если каждой реализации ее входного сигнала соответствует вполне определенное распределение ее выходного сигнала *).

Для одной и той же системы можно построить много различных моделей. В зависимости от степени детальности характеристики поведения системы и количества учитываемых факторов одни модели будут проще, другие -сложнее. Чем больше факторов учитывает модель, тем она сложнее, тем полнее и в принципе точнее она описывает поведение системы. Однако точность сложной модели может оказаться иллюзорной. Из-за ограниченности доступной информации, в частности из-за неточности исходных данных, используемых при при?ленении модели, чрезмерно сложная модель может оказаться менее точной, чем более простая (см., например, ТВ, п. 9.4.3)**). Поэтому степень сложности при.ннмаемой модели должна быть согласована с доступной информацией, которая может быть использована для построения модели и при ее применении.

Наоборот, одна и та же модель может описывать различные системы, например, линейное дифференциальное уравнение второго порядка с положительными постоянными коэффициентами

*) В соответствии с этим распределением модель генерирует одну случайную реализацию выходного сигнала, соответствующую данному входному сигналу.

**) Везде в этой книге буквами ТВ даются ссылки на книгу В. С. Пугачева «Теория вероятностей и математическая статистика» [60].