Последняя часть здесь имеет предел при п, т~* оо тогда и только тогда, когда существует интеграл

\\g{t. i)W7) Г. (Ti, т,) dx, dx,. < (63)

Таким образом, из теоремы о с. к. сходимости следует, что с. к. интеграл (62) существует тогда и только тогда, когда существует интеграл (63). При этом интеграл (63) представляет собой момент второго порядка интеграла (62).

Определив с. к. интеграл по ограниченной области Т, можно обычным путем распространить это определение на бесконечные области, пользуясь понятием с. к. предела вместо обычного. При этом необходимым и достаточным условием существования с. к. интеграла (62) будет по-прежнему существование интеграла (63).

Если интеграл (62) существует при всех tT, то он представляет собой случайную функцию Y{t), t£T. Согласно лемме п. 2.4.2 и ее следствиям 2 и 3 в этом случае существуют также пределы последовательностей {УИУ„(/)}, {MY{ti) >m(4)}, {МГ„ it,) Y M}, {MniX» (/,)}, {MX» (tx) r» (4)},

{MY„itx)X{ty, {MX{tx)Y„{ty, представляющие собой соответственно математическое ожидание, ковариационную функцию, момент второго порядка случайной функции Y{t) и ее взаимные ковариационные функции и взаимные моменты второго порядка со случайной функцией X (t):

my{t)=\g{t, x)mA)dx, . (64)

о =\\ё (1> i) WIPh)Kx (Ti, т,) dx, dx„ (65) г т

KyAtu Q = lg{t„ x)KA, Qdx, (66)

Kxy id, Q = S g{ti, x)Kxih, t)dx. (67)

Заменив в (65) и (66) букву К везде буквой Г, получим аналогичные формулы для начальных моментов второго порядка.

В частном случае, когда g{t, х) не зависит от /, g{t, т) = ф(т), с. к. интеграл (62) представляет собой случайную величину

Y = \(p{x)X{x)dx. (68)

В этом случае формулы (64) и (65) определяют математическое ожидание и дисперсию случайной величины

m,j = \(f (т) т (т) dx, D, = J ф (т ф(т,) (ti, dx, dx,. (69) т т т

Kz=\ \ ф(Ti)(т)КхX,)dx,dx,. (73)

Формулы (69) и (73) обобщаются на случай векторных величин Xit), Y в Z совершенно так же, как (65).

Пользуясь понятием с. к. интеграла, можно определить оператор момента второго порядка и ковариационный оператор случайной функции Xit) формулами

Гф = MX is) 5 X it)* фТО dt,

ТСф = ТИХ» (s) 5 X» (о* фТо

Пусть теперь X (/) - п-мерная векторная случайная функция, g{t, т) - m X п-матрица. Формула (62) определяет в этом случае /п-мерный векторный с. к. интеграл. Условием его существования является существование всех скалярных интегралов в выражении компонент вектора Y (t). Из выведенного необходимого и достаточного условия существования скалярного с. к. интеграла и из леммы и следствий п. 2.4.2 вытекает, что математическое ожидание случайной функции Y{t), представляющей собой векторный с. к. интеграл (62), определяется формулой (64), а ее ковариационная функция - формулой

Ку it,, g - И g (ti, т,) Кх (т„ т,) g it,, x,r dx, dx,. (70)

формула (65) представляет собой частный случай формулы (70), когда функции g it, х) и /С (i, - скалярные. Формула (66) для взаимной ковариационной функции Y it) и X it) справедлива и в случае векторного с. к. интеграла (62), а формула (67) заменяется формулой

Кху it и t,) = ] Кх itx, X) g it,, xf dx. (71)

Заменив в (70), (66) и (71) букву К везде буквой Г, получим аналогичные формулы для моментов второго порядка. Если рассматривать скалярные с. к. интегралы

Г == 5 ф(т)Х(т)т, Z=\ix)Xix)dx (72)

как компоненты двумерного векторного с. к. интеграла (т = 2, п=1), то формулы (64) и (70) дадут, кроме формул (69) и аналогичных формул для математического ожидания и дисперсии случайной величины Z, еще следующую формулу для ковариаций величин Y и Z:

При tl > t2 вследствие симметрии ковариационной функции переменные t и tl меняются местами. В результате получим

Ку (iu ii) min {tl, + e--e--1 -.l-l].

В случае действительных функций g{t, т) и случайной функции X{t) в (62) аналогично выводятся формулы для моментов высших порядков случайной функции Y (t). Ограничиваясь для простоты случаем скалярных g{t, т) и X{t), приведем формулу для момента г-го порядка с. к. интеграла (62):

ay(ti, ..., /;.) = $.. .giti, Tl).. .g{tr, T;.)a*(Ti, . . ., T,)dTi ...dx,.

T T

Эта формула справедлива не только для начальных моментов а, но и для центральных моментов р и для соответствующих семиинвариантов. Для существования момента af{tu tr) случайной функции У {t) необходимо и достаточно, чтобы существовал такой же момент af{ti, t) случайной функции X{t) и интеграл в правой части приведенной формулы сходился.

2.4,6. Средние квадратические интегралы с переменными пределами. Рассмотрим случайную функцию

Г(0 = $Ф(т)Х(т)йт,

где ф(/)- непрерывная функция, X{t) - c.K. непрерывная случайная функция. В общем случае X{t) и К(/) -векторные слу-

Аналогичными формулами можно определить взаимный оператор момента второго порядка и взаимный ковариационный оператор двух случайных функций.

Пример 16. Найти ковариационную функцию интеграла от случайной функции

Y(t) = \x (т) dx,

если X (t) имеет показательную ковариационную функцию Кх (h, ii) = = De"" IПрименяя формулу (65), находим

При tl < ti эта формула дает

0 У.0 X, >