одна от другой запятыми, относится ко всей группе формул, а не только к последней из них.

Ссылки на литературу даны номерами соответствующих литературных источников в приложенном в конце книги списке, заключенными в квадратные скобки. Авторы ни в какой мере не претендуют на полноту приложенного списка литературы. В нем указаны только те источники, на которые даются ссылки в тексте.

Для удобства читателей формулировки всех основных результатов и предложений выделены курсивом. Начало и конец выводов, доказательств и рассуждений, приводящих к определенным результатам, отмечены зачерненными треугольными указателями ► и

Для чтения книги необходимо знание основ теории вероятностей и математической статистики в объеме глав 1-6 и 9 книги В. С. Пугачева «Теория вероятностей и математическая статистика». Наука, 1979 [60]. Ссылки на эту книгу даются буквами ТВ в скобках с указанием номера соответствующего параграфа, пункта или примера, например {ТВ, п. 4.5.3). Кроме того, предполагается, что читатель имеет математическую подготовку в объеме соответствующих курсов математических дисциплин высших технических учебных заведений. Для справок по математическим вопросам рекомендуем справочник Г. Корна и Т. Корн [41]. Дополнительные разъяснения для читателей, знакомых с элементами функционального анализа, даны в некоторых разделах книги петитом. Читатели, не имеющие такой подготовки, могут пропустить эти разъяснения без ущерба для понимания основного содержания книги.

Авторы выражают глубокую благодарность М. Л. Дашевскому, И. Д. Силуяновой и Н. М. Сотскому за ценные замечания, В. Н. Шину, выполнившему численные расчеты на ЭВМ для приведенных в книге примеров и также сделавшему ряд ценных замечаний, а также рецензенту рукописи Б. Г. Доступову и редактору книги В. А. Лотоцкому, тщательная работа которых над рукописью дала возможность исправить ряд погрешностей и улучшить книгу. Авторы благодарны И. В. Синицыной, взявшей на себя труд неоднократной перекомпоновки рукописи и подготовки ее к печати, и Н. Т. Ярославцевой, напечатавшей различные варианты рукописи.

Авторы

ГЛАВА 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

§ 1.1. Математические модели систем

1.1.1. Понятие системы. Современная наука изучает различные системы и методы управления ими.

Системой называется любая совокупность взаимодействующих предметов любой природы.

Примерами систем могут служить весь окружающий нас мир или любая его часть, человеческое общество, отрасль народного хозяйства, завод, летательный аппарат, корабль, вычислительная машина, организм человека или животного и т. д.

Чтобы применить математические методы для изучения функционирования какой-либо системы, необходимо построить математическую модель этой системы. Для этого необходимо прежде всего определить совокупность величин, которые могут служить количественными характеристиками функционирования системы, а затем установить соотношения между этими величинами, приближенно описывающие функционирование системы.

1.1.2. Взаимодействие системы с окружающей средой. Всякая система (кроме всего окружающего нас мира *)) взаимодействует с окружающей средой, что-то получает извне и после переработки что-то отдает в окружающую среду, в частности другим системам. В этом заключается функционирование-работа системы. Система может получать извне и выдавать в окружающую среду различные вещества, предметы, информацию, управляющие воздействия. Обычно говорят, что система получает на входе определенные данные и дает на выходе некоторые другие данные.

Так, например, завод получает на входе потоки сырья, материалов и различных материальных средств, плановые задания, директивы вышестоящих организаций, а на выходе дает выпускаемую им продукцию, отходы производства, материалы и средства, передаваемые другим системам, и выпускаемую им документацию. Управляемый летательный аппарат получает на входе (от летчика или автоматической системы управления) управляющие воздействия -положение его органов управления (рулей и дросселей двигательной установки) как функцию времени. В результате создаются соответствующие силы и моменты, действующие

*) Весь окружающий нас мир подвержен только внутренним взаимодействиям его частей.

на летательный аппарат, которые изменяют ориентацию его осей и направление полета. Вследствие этого на выходе летательного аппарата получается определенная траектория полета и закон изменения во времени ориентации его осей. Кроме положения органов управления, задаваемых летчиком или системой управления, на летательный аппарат, совершающий полет в атмосфере, действуют случайные изменения вектора скорости ветра вдоль траектории, вызываемые турбулентностью атмосферы. Это приводит к случайным беспорядочным колебаниям действующих на летательный аппарат аэродинамических сил и моментов, и в результате получаются беспорядочные колебания летательного аппарата, так называемая «болтанка». Таким образом, получая на входе случайные изменения аэродинамических сил и момен тов, вызываемые турбулентностью атмосферы, летательный аппарат отвечает на них на выходе случайными колебаниями.

1.1.3. Входные и выходные сигналы и состояние системы. Первым шагом к построению математической модели системы является математическое описание того, что система получает на входе и выдает на выходе. Это описание состоит в установлении двух множеств величин, с помощью которых можно определить внешние воздействия на систему и то, что она дает на выходе в каждый данный момент времени.

Величины, определяющие внешние воздействия на систему, называются ее входными сигналами. Величины, определяющие действие системы на окружающую среду и, в частности, на другие системы, называются выходными сигналами системы.

Кроме входных и выходных сигналов, для построения математической модели системы часто приходится вводить еще некоторые вспомогательные величины, в число которых могут включаться величины, характеризующие действия различных частей системы друг на друга (внутренние взаимодействия частей системы). Все эти величины, характеризующие положение (состояние) системы в каждый данный момент времени, обычно называются переменными состояния системы.

В дальнейшем мы будем называть входным сигналом системы всю совокупность ее входных сигналов, выходным сигналом - всю совокупность ее выходных сигналов и вектором состояния - всю совокупность переменных состояния системы.

Множество всех возможных входных сигналов системы будем называть ее пространством входных сигналов, множество всех возможных выходных сигналов системы -ее пространством выходных сигналов, а множество всех возможных векторов состояния системы -ее пространством состояний.

Входной и выходной сигналы системы как определенные функции времени и изменение вектора состояния со временем характеризуют функционирование системы или, как часто говорят, ее поведение.