функцию/Сд.(/1,/2) формулой

R it t) - xJtx, h)

VDAti)DAh) VKAhAi)KAt2,t2)

Взаимной корреляционной функцией случайных функций X{t) и Y (t) называется коэффициент корреляции их значений •при значениях ti, аргумента /, рассматриваемый как функция 1, .€Г:

Rxniif 2)-

xyih, h)

VDj(ti)Py\(t,) VKx {tu tx) Ky (2. 2) *

Корреляционной функцией n-мерной векторной случайной функции X{t) = \Xi{t) . . . Xn{t)Y называется матрица, элементами которой служат корреляционные и взаимные корреляционные •функции компонент X.i{t), X„{t) случайной функции X{t):

Rxitu 2) =

~RiAtu (2) Ri2{h, М •• Riniii, /2) R2i.{tu ti) RtiUu ti) ... Riniti, ti)

.RniPi, ti) Rr,2 {iu ii) Rnn (iu ti).

где Rpp{ti, 2) -корреляционная функция случайной функции Xp{t), а Rpg{tu 2) -взаимная корреляционная функция случайных функций Xp{t) и Xg{t) (р, = 1, п).

Корреляционная функция векторной случайной функции X(О выражается через ее ковариационную функцию формулой

RAU, ti) = aAh)-Kx{tx, h)aAti)-\

где aj.() -диагональная матрица, элементами которой служат средние квадратические отклонения Op{t) компонент случайной •функции Х(0, ap{t)==V"DAt)VKpp{t, t) (р=1, п).

Взаимной корреляционной функцией п-мерной векторной случайной функции X{t) и т-мерной векторной случайной функции Y (t) называется матрица, элементами которой служат взаимные корреляционные функции всех их компонент:

-RfHiu Q ... RZ{tu tiY

где Rp{ti, 2) -взаимная корреляционная функция случайных функций X, (О и 7(0 (р = 1, . . ., п; q = I, . . ., т).

Взаимная корреляционная функция случайных функций X(f) и Y [t) выражается через их ковариационные и взаимную ковариационную функции формулой

Формула (20) верна как для скалярной, так и для векторной случайной функции X{t). В последнем случае матрицы-столбцы Я, и т„ и матрицу /С„ следует понимать как блочные матрицы.

Если все матрицы Дд -невырожденные, то можно также определить нормальное распределение случайной функции с помощью конечномерных плотностей {ТВ, п. 4.4.3)

fn{xi, х„; ti, п) =

= [(2я)Л:„1]-/ехр J-l{ul-ml)Kn{Un-m„) (п=1,2, ...),

(21)

Где в дополнение к предыдущим обозначениям и„ = [х1х1. . .ХпУ.

*) В случае когда функции Kxih- U) и Kxyih, /2) называются корре-ляцяонными, функции Rx{tu h) и Rxyih h) Называются нормированной корреляционной функцией случайной функции X {t) и нормированной взаимной корреляционной функцией случайных функций X (t) и Y {t).

где сг(0 и сг,Д/) - диагональные матрицы, элементами которых служат средние квадратические отклонения o{t) и а(/) компонент cjiy4aflHHxjy™<HHft X{t) и Y (t) соответственно, а*(/) = = УЩГ) = V{t, t), аУ(О = УОУ{t) = VKUt, t){p=\.....п-

2.2.8. Нормально распределенные случайные функции. Как уже

было сказано в п. 2.1.4, конечномерные распределения случайной функции однозначно определяют распределение случайной функции в соответствующем пространстве функций (функциональном пространстве). Естественно считать это распределение нормальным, если все порождающие его конечномерные распределения нормальны. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Случайная функция называется нормально распределенной, если все ее конечномерные распределения нормальны.

В общем случае нормальное распределение удобно определять характеристической функцией. Вспомнив формулу для характеристической функции нормального распределения {ТВ, п. 4.5.1), получим для конечномерных распределений нормально распределенной случайной функции X {t) формулу

gt.,...,t„{K ?.„) = exp{a-m„-1;.-л:„;. (n=i,2, ...), (20)

-Кх (tu h) Кх ih, h) ... Кх (.h, t„)-Kx{t2, h) Kx(t2, h) ... Kxi.t2, t„)

j arf{a)da = h a-{ha)da = j -г{)()й =

«rli(0 = ;j7(0 ( = 3, 4, ...).

При h ->- 00 все моменты случайной величины импульсов будут стремиться к пулю, а их средняя ллотпость ;i (/) будет возрастать пролорциопальиоА. При этом распределение величины импульсов (т. е. форма кривой распределения) будет оставаться неизменным.

Разложив в формуле (7) характеристическую функцию величины импульса ga( в ряд Маклорена с учетом того, что -i(0) = ог. получим

« тах(г,, ..,„) „

Ing/,.....th, j P(tp) >(t)dt.

Подставив сюда полученное выражение величины ц (т) и учитывая, что a2H(t) = v(t), (т) - О при h- оо. получим в пределе

„ mm (tp, tq)

•п......•Д»)=-у Урд j vcz)w(tp, X)W(tg,X)dx.

Сравнив эту формулу с (20), видим, что случайная функция К (t) в рассматриваемом предельном случае распределена нормально.

Рассмотренная задача дает пример теоретического определения распределения случайной функции на основании анализа соответствующего физического явления.

2.2.9. Начальные моменты второго порядка. Ковариационная функция представляет собой центральный момент второго порядка случайной функции.

Начальным моментом второго порядка Г(1, t) случайной функции X{t) называется взаимный начальный момент второго порядка ее значений Xf, Xf при произвольных t, t, рассматриваемый как функция 1, tT:

TAti, Q = MXit,)X(Q*. (22)

Пример П. Рассмотрим предельный случай задачи примера 2, когда существуют все моменты импульсов аг - МА (г=1,2, ...), плотность импульсов неограниченно возрастает, а интенсивность каждого отдель-

ного импульса стремится к нулю, но так, что при этом произведение а2,и ( остается неизменным. При этом будем считать, что математическое ожидание величины каждого импульса равно нулю, ai = 0, а распределение величины каждого импульса остается неизменным. На основании центральной предельной теоремы распределение случайной функции X (t) будет при этом стремиться к нормальному. Этот же результат следует из формулы (7). Чтобы доказать это, предположим, что распределение импульсов характеризуется плотностью

/(а) = Лг{)(Ла), ау, (t)=x (t).

Тогда получим