S 1.5. СИСТЕМЫ, ПРИВОДИМЫЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ 69

где То - интервал времени, на протяжении которого прошлые значения 2(т), ы(т) влияют на текущее значение u{t). Уравнение (76) соответствует ситуации, когда не является моментом начала работы системы, а представляет собой некоторый момент времени, принятый за начальный. В силу затухания подынтегральной функции F для моментов времени, достаточно удаленных от to{t - to> То), интегральное уравнение (76) практически совпадает с интегральным уравнением (75). Поэтому для моментов времени достаточно удаленных от to, при изучении поведения системы, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями (73), (74), (76), в силу свойства затухания функции F могут быть применены те же методы, что и для изучения системы, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями (73)-(75).

Назовем системы, описываемые интегро-дифференциальным» уравнениями (73) -(75) (или (73), (74), (76)), интегро-дифференциальными системами.

Если в число аргументов функций f и F входит еще значение некоторой случайной функции Л(/) при данном то интег-ро-дифференциальные уравнения (73) - (75) (или (73), (74), (76)) служат моделью стохастической интегро-дифференциальной системы.

Во многих практически важных случаях уравнения интегро-дифференциальных систем приводятся к дифференциальным. Назовем такие интегро-дифференциальные системы приводимыми к дифференциальным [118]. Только эти случаи будут рассматриваться дальше в книге.

1.5.2. Приведение интегро-дифференциальных систем к дифференциальным. Во многих задачах практики подынтегральная функция F в уравнении (75) допускает представление

Fit, т, Z, u) = w{t, т)ф(г, и, т). (77)

Входящая сюда матричная функция w{t, т) называется ядром интегрального уравнения (75). Через ф(г, и, т) обозначена векторная функция указанных аргументов, в общем случае нелинейная.

В силу того, что функция F является затухающей функцией t при фиксированном т, и ядро w{t, т) будет затухающей функцией, w{t, т) -- О при / -оо. Если w{t, т) представляет собой весовую функцию устойчивой физически возможной линейной системы, то согласно п. 1.2.4 w{t, т) удовлетворяет условиям (13) и (12):

w(t, т) = О при t > X,

\wj,(t, T)\dx<oo {k=l, .. . т; h=l, п). (78)

Здесь т -размерность вектора и, а п -размерность векторной функции ф. Если, кроме того, w{t, т) является весовой функцией линейной дифференциальной системы

t = at + ai?, Ti = pS, (79)

где а, р, a-i-некоторые матрицы, в общем случае зависящие от времени, то и определится уравнениями

? = а2 + (Х1ф(2, и, t), u = z (80)

при начальном условии г(,) = 0, вытекающем из (75). В результате интегро-дифференциальная система (73) -(75) будет приведена к дифференциальной системе

г = /(2, Рг, t), z-a2 + ai9(2, г, /). /on

2(g = 2o, 2(/„) = 0.

В частном случае, когда ядро w{t, т) является весовой функцией системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением п-го порядка (31), это уравнение стандартным приемом п. 1.3.4 приводится к уравнениям (79) при р = /.

Заметим, что на практике часто встречаются стационарные ядра, зависящие от разности аргумгнтов, w{t, т) - да,, (/ -т). В этом случае, если функция Wa{t~x) является весовой функцией стационарной линейной диференциальной системы, то передаточная функция Фо(5), соответствующая йуД/ -т), будет рациональной функцией параметра s и при известной передаточной функции Фо(5) дифференциальные уравнения (79) пoлyчaюfcя стандартным приемом п. 1.3.7.

Другим широко используемым на практике типом подынтегральных функций F в (75) служат функции вида

F{t, г, 2, «) = г1,(0ф(2, и, т), (82)

где гз (/) -известная матричная функция времени, ф(2, и, т) - известная векторная функция указанных аргументов, в общем случае нелинейная. В этом случае и определяется уравнениями

« = il)(0 2, 2 = ф(г, и, t), 2(g = 0. (83)

В результате сведем интегро-дифференциальную систему (73) - (75) к дифференциальной системе

2 = /(2, (t)z, t), 2 = ф(2, 11,(02, t),

2(g = 2„, 2(/о) = 0. (84)

Заметим, что на основании формулы (26) и формулы, следующей за (28), ядро w{t, х) всегда представимо в виде

w{t, x) = w+ {t)w- {%). (85)

§ 1.6. СИСТЕМЫ, ПРИВОДИМЫЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ 7J

Поэтому первый метод приведения интегро-дифференциальной системы (73) -(75) к дифференциальной в сущности равноценен второму. Однако практически первый метод оказывается иногда более удобным.

Случаи, когда подынтегральная функция F в (75) определяется формулой

F{t, т, г, «)= 2 wAi )фЛг, г) (86)

к= 1

F(t, т, Z, «)= 2 %Л01/Л2, и, т), (87)

к- I

путем ввода блочных матри0

wit, т) = К( T)...W,,{t, т)],

(0 = [ti(0-- - -л(0].

Ф(г, и, т) = [сг1(г, и, ху . . . (iy{z, и, хУу

приводятся к предыдущим [118].

В задачах практики часто подынтегральная функция F в (75) известна неточно и обычно определяется экспериментально. Поэтому функцию F можно аппроксимировать функциями вида (77), (83) ((86), (87)) или их линейной комбинацией. В таких задачах интегро-днфференпиальную систему всегда можно привести к дифференциальной.

Пример 25. В динамике популяций для описания колебаний численности совместно живущих популяций двух видов используются следующие уравнения:

Zi=HlZl, Z2 = fi2Z2, Zl(/o) = Zlo, Z2(/o)=Z20, (I)

где Zi и 22 - численности популяций первого и второго вида, Цх и - коэффициенты прироста их численности. Если f.ii = const = ei > О и ,112 = = const=-82 < О, 10 численность первого вида возрастает, а второго убывает. Однако если первый вид служит пищей для второго, то коэффициент (X2 будет переменным. Обычно принимается, что коэффициент Ц2 зависит не только от количества пищи Zx, которую находит второй вид в данный момент t, но также и от ранее имевшейся пищи, т. е. от предшествующих значений 2i. Учитывая эти факты, определим формулой

Ц2 = -£2+7221+ Ф2(t - }zx(x)d. (П)

i-T,

Здесь Tq - длительность интервала времени, на котором влияние предшествующих значений численности популяции первого вида 2] (т) существенно, ядро Ф2( -т) учитывает влияние 2i (т) на коэффициент прироста численности популяции второго вида. Коэффициент прироста численности популяции первого вида Hi выражается аналогичной формулой

Wi = ei -Yi22- Ox{t - x)z2{T)dx. (HI)