спектральная теория стационарных случайных функций и теория преобразования их стационарными линейными системами.

В главе 5 даны общая теория стохастических дифференциальных систем и ее применение к линейным системам. В начале главы изложены методы приведения уравнений системы к стохастическим дифференциальным уравнениям. Рассмотрены два метода: метод непосредственной замены линейно входящего в уравнение широкополосного случайного процесса белым шумом, имеющий ограниченное применение, и более общий метод формирующих фильтров. Подробно изложены методы нахождения формирующих фильтров для стационарных процессов и процессов, приводимых к стационарным. Для линейных сисгем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями с любым процессом с некоррелированными приращениями, выведены обыкновенные дифференциальные уравнения для моментов первого и второго порядков. Эти уравнения позволяют проводить статистические исследования линейных систем в рамках корреляционной теории без излишних допущений о стохастических диффенциаль-ных уравнениях. Вся остальная часть главы посвящена системам, описываемым стохастическими дифференциальными уравнениями с процессами с независимыми приращениями. Для таких систем выведены уравнения, определяющие конечномерные распределения вектора состояния. Для частного случая линейных систем получены точное решение этих уравнений и явные формулы для конечномерных характеристических функций вектора состояния.

В главе 6 изложены методы исследования нелинейных стохастических дифференциальных систем. Сначала рассматривается случай систем без шумов со случайными начальными условиями, в котором уравнения для конечномерных распределений могут быть решены точно. Затем изучаются методы исследования нелинейных стохастических дифференциальных систем, основанные на приближенном решении уравнений для конечномерных распределений вектора состояния системы. После вывода вспомогательных формул для производных по времени моментов первого и второго порядков вектора состояния нелинейной стохастической дифференциальной системы рассматривается исторически первый приолиженный метод решения уравнений для конечномерных распределений-метод нормальной аппроксимации распределений [55]. Устанавливается связь этого метода с методом статистической линеаризации. Далее изложены современные приближенные методы решения уравнений для конечномерных распределений, практически позволяющие получить решение с любой степенью точности: метод моментов, метод семиинвариантов, моментно-семиинвариантный метод и методы, основанные на ортогональных разложениях распределений, в частности метод квазимоментов.

Глава 7 посвящена теории оптимального оценивания состояния и параметров стохастических дифференциальных систем по результатам наблюдения (теория оптимальной фильтрации).

После постановки задач оценивания и экстраполяции выведены общая формула для оптимальной оценки вектора состояния, уравнения, определяющие одномерное апостериорное распределение вектора состояния системы, и формулы для стохастических дифференциалов апостериорных средних и моментов второго порядка, а также формулы для стохастических дифференциалов апостериорных вероятностей в задаче распознавания. Затем излагается точная теория оптимальной линейной фильтрации. В этом случае уравнения оптимальной фильтрации допускают точное решение. После изложения теории фильтров Калмана - Бьюси подробно изучается случай автокоррелированной помехи в наблюдениях, которая может быть представлена как результат преобразования белого шума линейным формирующим фильтром. Дается точное решение задачи оптимальной экстраполяции вектора состояния линейной системы. Затем рассматривается случай, когда уравнения системы и наблюдения линейны только относительно вектора состояния и нелинейны относительно наблюдаемого процесса. Глава заканчивается решением задачи распознавания сигналов в линейных системах.

В главе 8 изложены приближенные методы теории оптимальной нелинейной фильтрации (методы субоптимальной фильтрации). Рассмотрены две группы методов субоптимальной нелинейной фильтрации. К первой группе относятся методы, основанные на приближенном решении уравнений оптимальной нелинейной фильтрации: метод нормальной аппроксимации апостериорного распределения, метод моментов, метод семиинвариантов и методы, основанные на ортогональных разложениях апостериорных распределений, в частности метод квазимоментов. Все эти методы, кроме метода нормальной аппроксимации, принципиально позволяют получить решение задачи оптимальной фильтрации с любой степенью точности. Однако возможности практической реализации соответствующих фильтров сильно ограничены из-за сложности получающихся алгоритмов. Ко второй группе относятся методы, основанные на упрощении уравнений оптимальной нелинейной фильтрации. Фильтры, даваемые этими методами: обобщенный фильтр Калмана - Бьюси, фильтры второго порядка и гауссов фильтр, по сложности реализации равноценны фильтру метода нормальной аппроксимации. Однако ввиду произвольности допущений, лежащих в основе этих фильтров, вопрос о точности их приближения к оптимальному фильтру остается неясным. Глава заканчивается изложением метода априорного исследования точности субоптимальных фильтров.

Глава 9 посвящена теории условно оптимального оценивания и экстраполяции вектора состояния системы и условно опти-

мального оценивания параметров системы (теория условно оптимальной фильтрации и экстраполяции). Теория условно оптимальной фильтрации и экстраполяции позволяет строить фильтры минимальной сложности, сравнительно легко реализуемые в задачах практики. Кроме того, она дает возможность получать фильтры, равноценные по сложности любому данному субоптимальному фильтру, но обладающие более высокой точностью. В этом состоит существенное преимущество методов условно оптимальной фильтрации по сравнению с методами субоптимальной фильтрации.

После изложения основной идеи условно оптимальной фильтрации и экстраполяции, постановки соответствующих задач даются общие методы построения условно оптимальных фильтров и экстраполяторов. Рассматривается применение теории условно оптимальной фильтрации для решения задачи распознавания в случае линейного уравнения наблюдения. Затем эти методы распространяются на случай автокоррелированной помехи в наблюдениях, представимой в виде выходного сигнала формирующего фильтра, описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (не обязательно линейным). В последнем параграфе главы дается применение теории условно оптимальной фильтрации и экстраполяции к линейным систсхмам с параметрическими шумами.

В конце каждой главы даны задачи для упражнений.

В приложении 1 изложены необходимые сведения по теории полиномов Эрмита скалярных и векторных переменных. В приложении 2 дан метод интегрирования матричного уравнения Риккати путем сведения его к системе линейных уравнений удвоенного порядка. В приложении 3 выведены формулы для условных математического ожидания и ковариационной матрицы случайного вектора, образованного частью компонент нормально распределенного случайного вектора. В приложении 4 приведены таблицы формул, необходимых для практического применения метода статистической линеаризации, а следовательно, и метода нормальной аппроксимации. Приложение 5 содержит формулы для стохастических дифференциалов Ито типовых нелинейных функций.

В каждой главе книги принята своя нумерация формул и примеров. При ссылках на формулы и примеры в пределах одной главы указываются только их номера в этой главе. При ссылках на формулы и примеры из других глав перед номером формулы или примера ставится номер соответствующей главы, отделенный от номера формулы или примера точкой. Так, например, (15) и пример 3 означают ссылки на формулу (15) и пример 3 той же главы, в которой даны эти ссылки; (3,72) и пример 6.15 означают ссылки на формулу (72) главы 3 и пример 15 главы 6. Номер, поставленный у последней формулы группы формул, отделенных