Отсюда следует, что

т,.....т„ (*) = "Рт,.....тр-1.....т„ (*)•

Таким образом, дифференцирование полинома G.....тл по сводится

к уменьшению иа единицу индекса Шр и умножению результата на Шр. Применив это правило для повторного дифференцирования формулы (9), получаем

- пн.....т„ (*) = - u т,.....тр-2

(10)

дХд .....т„ W=/"?G„, , . .,,пр-1..........т„(*)при;)<9.

Аналогично, дифференцируя формулу (2) по kpp и по kpg, получаем

= -mi! ... т„! "zп......тр-2.....тп W

И " • • • "„

m„ni„G„

mi! ... m„l "Р""?"......

Отсюда следуют формулы

(X).

G„

2 4 -

(л:)= -m;,mG,„ ,m;,-i..........m„

Gm,.....m„W. (12)

ax, ax "i.....

(X). (13)

Аналогично выводятся формулы для производных полиномов Яда (х).

Рассмотрим теперь последовательность неособенных симметричных положительно определенных матриц {Кп},

Для каждого n определим соответствующую систему полиномов Эрмита

Я„(д;<>) = Я,„ Л*1.....G«("")=Gm......m„(*i.....

x<"> = (*i ... ХпУ, т= \mi ... ШпГ. Докажем несколько теорем, определяющих соотношения между полиномами Эрмита, соответствующими разным значениям п.

mil ... m„! у (2я)п /С„ ,

где u = [ui ... Un-iY- С другой стороны, согласно той же формуле (7) ехр I i-(A:T «T)/Cli(x-«)} =

-L mi! ... m„„l " .....«.„ .(*ь ••An-i).

Умножив это равенство на [(2я)»~Ч/Cn-i П" и сравнив коэффициенты прн одинаковых степенях и,, ы„ в правых частях полученного равенства и предыдущего равенства, убеждаемся в справедливости формулы (14). < Для доказательства теоремы 2 положим в (2) при ККп Un = 0-Тогда получим

ехр {.x„, ..T„ ,„j 0 .....„ (,,...,

С другой стороны, та же формула (2) дагт

ехр {.x„--„T„ ,„j=£ i 10..... (., x„ i).

Из сравнения полученных двух формул вытекает (15).

Следующие две теоремы дают соотношения между полиномами Эрмита, разным п в пределе, когда й,„ = йр, „ 1 (р= I, ...,п - 1), . е. в случае вырожденного нормального распределения случае координаты X„ i и Х„ случайного вектора Х = „] с вероятностью 1 совпадают, X„ = X„ i. При этом

соответствующими разным n в пределе, когда й,„ = йр, „ i (p= 1.....1 -П.

nn - kn-i, n-l, т.е. в случае вырожденного нормального распределения N (О, /Сп). В этом случае координаты X„ i и Х„ случайного вектора Х = - [Xi ... Xn-i Хп

плотность

wn {X) = 1(2я)« \Kn\r ехр {- х-Кпх/2}

заменяется соответствующей вырожденной нормальной плотностью {ТВ, п. 4.4.6)

и.; (*) = [(2я)«-11 Кп-11Г ехр {-xKnii х/2} 8 (х„- „ i).

Теорема 1. При любых т,, mn-i, тп

Г<ЩЧкаУ -".....-.-х,п).„=

- 00

V (2я)«-1/С„-1 где боо= !, 6оа = 0 пры й 5 О, «==[a:i ..., Xn-iV-Теорема 2. Яры любых т,, ..., m„ i

m,.....m„ ,.o(*b = ,„„ (д:ь .... a:„ i)- (15)

Для доказательства теоремы I проинтегрируем равенство (7) при К - Кп> умноженное иа [(2я)" АГ„ J~ по В результате иа основании свойств многомерных нормальных распределений {ТВ, § 4.4) будем иметь

[(2я)"-11 Kn~i\]- еР {- У Кп1г (*-«)} =

(16)

Теорема 4. Ярм kpn = kp,n~i (р=1, «-1), fenn = 6„ j, „ j

*5m,.....«,„ ьт„(-*ь ••-.я-ь Xn-l)=Gm„ . . ., +ш„ (*1.....«n-l). (17)

► Для доказательства теоремы 3 заменим в равенстве (7) при К = Кп, и„ - и„ 1, умноженном на [(2л)" /Сп I га-мерные нормальные плотно-

сти wn{x) и w„(x - u) соответствующими вырожденными нормальными плотностями wn{x) и wn{x - u). в результате после сокращения на [(2n)«-4/C„-ill~ получим

ехр (*-«0 {х-и) б (х„-д:„ ,) =

Так как правая часть здесь равна нулю при «„«„ b то в ней можно заменить иа xn-i, не нарушив равенства. Тогда получим

ехр {х-и-) Kali (-«) j- S(a:„-a:„ i) =

mi! ... m„ i! m„!

ХЯ,„.....(xi, x„ i, «„ i)6(«„-«„ i).

Из этого равенства двух обобщенных функций вытекает равенство коэффициентов при б-фуикции:

ехр \-1(х--и)Кп1Л->))-

.............>•

Собрав вместе слагаемые, соответствующие одинаковым значениям "п-1 + «п = . получим

ехр \-1(х-и)Кп1г(х-и)Х

mi! ... m„ 2 !

h (i

пли. заменив / на m„ i.

Г I 1 и

exp i- (д:--«-) KnA (- - «) f

Теорема 3. При fepn = fep,n-i (р=1.....п-1), knn - kn-ъ n-i

тпп - г ft=0