1.4.4. Линейные стохастические дифференциальные системы. Дифференциальные уравнения линейной стохастической систе.мы отличаются от уравнений детерминированной линейной системы (21) дополнительными случайными слагаемыми:

= aZ + ax + ao + a,N{t), Y = bZ--Ь + КМЩ- (68)

В этих уравнениях Ny{t} и TV, (г") -случайные функции времени, в общем случае векторные.

Вводя составную векторную случайную функцию Л (/) = = [Ni{ty N.,{tyY и блочные матрицы а,==[аО], К==[0 Ь], где О означает матрицу, все элементы которой равны нулю, представим случайные слагаемые в (68) в виде аЛ\ {t)-=a!N (/), bN (/) = bN {t). Поэтому без потери общности можно отбросить индексы у случайных функций и записать (68) в виде

ZaZ-ax + a + aN {t), Y = bZ + + bN (t). (69)

При автоматическом управлении линейной системой с применением линейных формирующих и исполнительных устройств к уравнениям (69) добавятся линейные уравнения, определяющие требуемый и фактический входные сигна,лы X* и X. В эти уравнения также могут войти случайные функции времени, особенно в тех случаях, когда отклонение системы от требуемого режима измеряется со случайными ошибками, которыми нельзя пренебречь. В таких случаях, включив в состав вектора состояния системы Z все допол1:игельные переменные, которые придется ввести, добавляя к (69) уравнения формирующих и исполншельных устройств, включая все компоненты вектора входного сигнала X, а в состав векторной случайной функции Л(/) все случайные функции, входящие в уравнения формирующих и исполнительных устройств, приведем систему уравнений, описывающих поведение автоматически управляемой линейной системы, к виду

Z = aZ + a,Nit)+ao, Y :=bZ + b,N (t) + bo. (70)

При этом, само собой разумеется, матрицы а, а, Ь, Ь в уравнениях (70) не совпадают с такими же матрицами в (69) (речь здесь идет не о конкретных уравнениях (69) и (70), а об их общем виде).

В задачах практики отклонения нелинейной системы от требуемого режима иногда можно считать достаточно малыми. В этом случае уравнения системы часто можно линеаризовать относительно случайных отклонений от требуемого режима и относительно действующих на систему случайных возмущений. В таких случаях нелинейные уравнения, описывающие поведение систелгы, заменяются приближенными линейными уравнениями в отклонениях. Это дает возможность исследовать номинальный режим работы системы с помощью детерминированной модели (15) или (19), а затем изучать случайные отклонения от номинального

режима с помощью более простой линейной стохастической модели (69) или соответственно (70).

1.4.5. Линейные системы с параметрическими шумами. В задачах практики иногда приходится встречаться с линейными системами, в которых шумы зависят линейно от вектора состояния системы. В таких случаях приходится пользоваться для описания поведения системы линейными дифференциальными уравнениями с флуктуирующими коэффициентами. Флуктуации коэффициентов уравнений линейной системы обычно называются параметрическими шумами. Для таких систем матрицы а. и Ьх в уравнениях (69) и матрицы я в уравнениях (70) зависят не только от времени, но являются также линейными функциями вектора состояния системы.

Таким образом, уравнения (69) в случае параметрических шумов заменяются уравнениями

Z = aZ-iraxX-~ao + [a,o -г 2 Ь(0.

YbZ-bo-[ bx„ + J,bx,Z,\N{t). \ k=i J

Аналогично, при автоматическом управлении уравнения (70) для расширенного вектора состояния Z запишутся в виде

Z = aZ-

Y = bZ-b,

10 + 2 iaOv(0.

V А= 1 у

(72)

Заметим, что уравнения (71) и (72), будучи линейными относительно вектора состояния Z и выходного сигнала У, являются нелинейными относительно Z и N (f).

Пример 24. Движение физического маятника с колеблющейся точкой подвеса описывается уравнением [126]:

/1ф + 5ф + т/ (1 Ч-Лг) sin ф-гт/Л1 cos ф -О, (I)

где ф -угол отклонения маятника от вертикали, Л-момент инерции. В - коэффициент момента сил вязкого трения, mg/-статический момент, giVi=gAj(2) и gN2 = gN2(t)-горизонтальная и вертикальная компоненты вектора ускорения точки подвеса, представляющие собой случайные функции времени.

При малых углах ф, положив в (I) sin ф » ф, cos ф » 1 и приняв ф = = 2i, ф=22 за пере}:енные состояния, получаем линейную стохастическую дифференциальную систему с аддитивным и параметрическим шумами,

Уравнение которой имеет вид

где wi-omglJA, 2e = BJA.

§ 1.5. Системы, приводимые к дифференциальным системам

1.5.1. Системы, описываемые функционально-дифференциальными уравнениями. Многие задачи практики приводят к функционально-дифференциальным уравнениям вида

2 = /(4. О- (73)

Здесь в отличие от первого уравнения (19) компоненты векторной функции / при каждом t зависят от закона изменения вектора состояния 2т: = г(т) на интервале времени [/о. О, т.е. пред. ставляют собой функционалы 2/„ = {т:: ta-i <. t}. При этом представляет собой момент начала работы системы, описываемой уравнением (73). Зависимость функции / только от значений г при % <t отражает свойство физической возможности системы, математической моделью которой служат уравнения (73).

Подобные уравнения встречаются, например, в задачах динамики популяций, эредитарной (наследственной) механики и физики, когда учитывается зависимость компонент смещений в виде функционалов от компонент напряжений силового и электромагнитного полей, в динамике полета при нестационарном движении летательного аппарата, сопровождающемся сходом с него аэродинамического следа, содержащего сведения о пред-истории движения, в задачах синтеза управления в виде функционалов от всех измеряемых предшествующих значений координат и скоростей. Существует обширная литература, в которой изучаются функционально-дифференциальные уравнения [81, 82, 90]. Однако эффективных общих методов изучения систем, для которых подходящей моделью служит уравнение (73) пока не существует.

Важным частным случаем является уравнение (73) при

f{zi,t) = f{z, и, t), (74)

где вектор и определяется интегральным уравнением

u{t) = \ F{t, t, z{T), u{x))dx. (75)

Здесь F{t, t, 2, m) -некоторая векторная функция указанных аргументов. Обычно в приложениях подынтегральная функция F при любых фиксированных т, 2, и обладает свойством затухания, F{t, т, 2, м) -> о при / ->оо.

На практике встречаются более общие, чем (75), интегральные уравнения для вектора и

и(0= S F{t, т, 2(т), u{x))d%, (76)

t-T„