Подставив эти выражения в (19) и (21), находим «02 = {К,у - К ?у) al, + {К,-К 7г) ah +

г т + р \/ т + р \ т + р

r= 1

/ г, s=l

\ m + p \ m + p

>«22=(ci„+ 2 Cim 4,cl„-h- 2 с1гтЛ+ 2 Ci,vcLfe„, (68)

где /Су, /С, Kz, Ky, = Kly, Kzi-Klz, Kyi =К}у - ковариаи.иоЕ-ные и взаимные ковариационные матрицы случайных векторов Yf, Zf, Zf, -математическое ожидание компоненты случайного вектора Q = [Fi ... F,„Zi ... Z,], а fe-ковариация компонент Q, Q, вектора Q. Учитывая, что согласно (14) и (20) Кг=Кгг, Kiff = Ky и, следовательно, K-Kiz = K - Ki=R, получаем

>oi = [a2iKya22Kzy a2iKyi+a22Kz],

т-р \/ т + р \ т + р

Хо, = Ral2 +1 С20 + Т С2,т, ) v ( do + 2 cj.m, ) + 2 C2,vcLfe„,

/•= 1

X,, =

r=l y yz

r. S=l

(69)

x,i = [aii/Cj, + a,2Kzy aiKyz + аК]-Подставив Эти выражения в (22) и (18), получим

а = [аа,] = [(а. - рп) /С, + (а, - ра) Kiy

(21 -paii)/Cj/£-f (а,„ -pa,i)/Cj] =[21-ран а,,-pi,],

с / т + р \ /

Р = < Ral2 + , С20+ 2 C2,m, 1 V ( сТо+ 2 с:

с / т + р \ / тр \ т + р \

г, 5=1

(70)

Оптимальное значение у находится из уравнения (15) с помощью формулы (16):

У = cLzirriy + а22т + а,о - сс [mj m г Y -

- Р (aiiOTy + ai„m + ю) = а,о -Рю. (71) При этом уравнение (67) принимает вид

dZ = {a2,Y + a22Z + a,,)dt + {dY-(a,,Y+a,2Z+ CL,o)dq. (72)

Для определения р необходимо найти математическое ожидание т и ковариационную матрицу К случайного вектора Q = = [Fl ... F„ Zi ... ZpY и ковариационную матрицу R ошибки Z = Z-Z. Для этого воспользуемся выведенными в п. 6.1.6 уравнениями (6.20) и (6.22). Эти уравнения в нашем случае имеют вид

т + р

ац ai2

021 022

.20.

т + р г, s=l

(73)

(74)

LC2rJ

(r = 0, 1, m+p).

Уравнения (73) и (74) с соответствующими начальными условиями определяют все элементы т, k матрицы-столбца т и матрицы /С(г, s= 1, .. ., тп + р).

Уравнение для матрицы R вытекает из формулы (42):

т р

R = a22R + Rdlz

т + р

+ 2 c2,vcLfe,

г, s=l

m+ р

+ 2 Ci.vLfe,

г, s= 1

Яа1г 4 ! С20 + 2 C2."V V 1 cIo + 2 i. +

I 1-20 -r l-2;-"V / I <

тл p

m-tp

r= I , \ r=l J

m + p

+ 2 C2,vfLfe„, (75)

где определяется последней формулой (68). Уравнение (75) представляет собой матричное уравнение Риккати.

После нахождения т, k {г, s=l, тфр) и R путем интегрирования уравнений (73) -(75) оптимальный коэффициент р в (72) определяется по формуле (70). М

Докажем, что фильтр, определяемый уравнением (72), оптимален в классе всех линейных фильтров. Для этого достаточно показать, что ошибка фильтрации не коррелирована с любым результатом измерения У, s[to, t] {ТВ, п. 9.2.5). Чтобы сделать это, напишем уравнение для ошибки фильтрации Zf = Zf - Zt. Вычитая второе уравнение (66) из (72), находим

dZ,= (a22-pal2)Z:,d

т + р

Pci„-C2„+ 2 (pCi,-cJQ,

578 ГЛ 9 УСЛОВНО ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ и ЭКСТР \ПЛЯЦИЯ

Умножив это уравнение почленно справа на Y}, взяв математическое ожидание и учитывая, что случайный вектор Qx - [YIZ[] не коррелирован с dW, при т , получим

dMZtyi{a22 - ?>ai2)MZtYldt при т<.

Но в силу (20) MZYI==0, VtG[4, t]. Следовательно, MZfYlQ при всех fT.

Таким образом, мы имеем пример, когда условно оптимальный фильтр является оптимальным и в более широком классе всех линейных фильтров.

В частном случае линейной системы (66), когда = О (г= 1, ... . . ., т + р), уравнения (72) и (75) совпадают с уравнениями (7.32) и (7.30) теории оптимальной линейной фильтрации. Следовательно, в частном случае винеровского процесса W (t) в (66) при С;. = 0 (г = 1, . . ., т + р) условно оптимальный фильтр оказывается оптимальным и в классе всех возможных фильтров.

Заметим, что в рассмотренном случае нет необходимости использовать уравнение (31). Это объясняется тем, что оптимальные а, Р и у зависят в этом случае только от первых и вторых моментов случайных векторов Q = [FZ] и Z = Z-Z, которые определяются уравнениями (73) - (75).

Для того чтобы найти доверительные области для Zf, достаточно знать совместное распределение величин Zf, Zf. Это распределение полностью определяется характеристической функцией gi(?i], \,, Х; t) случайного вектора [YJZiZl]-, которая находится из уравнения (31). Это уравнение в данном случае принимает вид

= {Ка,, + Xla,, + Xla,,) If + {Xla,, + Ца,, + Xa)

+ XI (a,, -щ,) § + i (XJa,, Ф Xlao + Xa,,) g.

+ Mt [[cb + Y cl,Y, + Y cl j 14 clo + 2 clrY, +

p \ \

+ Y cl mrZr ; (X, + pз); t exp {iXlY + iXlZ + iXlZ]. (76)

Для винеровского процесса W (t) (76) представляет собой линейное уравнение в частных производных второго порядка.

В частном случае линейной системы (66) уравнение (76) представляет собой линейное уравнение в частных производных первого порядка, которое легко интегрируется стандартным методом п. 5.4.2. В результате можно получить явное выражение характеристической функции ошибки фильтрации Z = Z - Z. Определив распределение ошибки, можно находить доверительные области для Z.