Бремени t. Поэтому случайные функции Nit) и Ni{t) зависимы. Вводя составную векторную случайную функцию N {t)r=\Nx{ty х. xNityNltyy, перепишем полученные уравнения в виде

Z = fiZ, Nit), t), Y = g{Z,N{t),t). (67)

Таким образом, при автоматическом управлении системой, описываемой уравнениями (65), добавив к уравнениям (65) уравнения формирования требуемого и фактического входных сигналов, мы включаем эти сигналы в вектор состояния системы и приходим к уравнениям вида (67), содержащим случайную функцию Л().

Если система управления содержит ЭВМ, то, как и в п. 1.2.7, разложим расширенный вектор состояния системы Z на два подвектора Z, Z", Z = \Z" Z"y, один из которых Z представляет собой непрерывно изменяющуюся случайную функцию, а другой Z" является ступенчатой случайной функцией, изменяющейся скачками в определенные моменты времени ( = 0, 1, 2, ...). Тогда, вводя случайную функцию

z"{t)= 2 z;\\A{t)

и полагая Z, = Z(/*) (k = Q, 1, 2,...), получим уравнения, описывающие эволюцию расширенного вектора состояния стохастической системы при автоматическом управлении с ЭВМ:

Zf{Z,N (t), i), ZU, = ф, (Z„ N,), (67a)

где N {t) - некоторая случайная функция, a Л/ (fe = О, 1, 2, .. .) - некоторые случайные величины.

Пример 22. Уравнения движения в примерах 1, 2 описывают стохастические модели движения различных механических систем, если силы и моменты в правых частях уравнений представляют собой случайные функции.

Пример 23. Уравнения продольного движения самолета в турбулентной атмосфере в режиме прямолинейного горизонтального полета имеют вид

a + Cia+C2a = Co-Сзб-jVii (t),

e = a(a-ao) + yVia(0, П = е. где в дополнение к обозначениям примера 10 iVii (О и Л12 (О -случайные Функции времени, определяемые формулами

в которых Wy-вертикальная составляющая вектора скорости ветра, представляющая собой случайную функцию координат точки пространства, а Wy - ее полная производная по времени с учетом того, что номинальные Координаты самолета в неподвижной системе т1 определяются формулами I-о + ь> 11 = = 0 (предполагается, что ось абсцисс направлена по горизонтальной прямой, представляющей собой заданную траекторию полета).

Вводя, как и в примере 10, вектор состояния Z с компонентами Zi = a, Z2 = a, Z3 - Q, Zi = r[ и входной сигнал д;=б, получим уравнения движения самолета вида (65):

Zi = Z2, Z2 = -Со-C2Z1 -CiZ2 -Сдд:-Л11 (t),

Z3 = a{Zi-ao) + Afi2{0, Z4 = iZ3, KZ*.

Остается определить входной сигнал х. Предполагая, что летчик задает отклонение руля высоты от положения, необходимого для поддержания заданной высоты полета, приблизительно как линейную комбинацию отклонения угла тангажа # = 9-j-a = Zi-f-Z3 от заданного значения ао и его производной со случайными колебаниями, можем написать

где So = {co-С2ао)/Сз -угол отклонения руля высоты, необходимый для поддержания заданного значения ао угла атаки а, при котором 9 = 0, д = 0, у = 0, ко и fei -некоторые коэффициенты, Лд {) -случайные колебания руля высоты, совершаемые летчиком. Подставив в полученное уравнение выражения производных Zi и Z3 из предыдущих уравнений, получим x = 8o + (ko + ha) Zi -f iZ2 + 03 - {0 + kia) + hN-i (1) + Ыз(1).

Тогда уравнения продольного движения самолета в турбулентной атмосфере примут вид

Zl=Z2,

Z2 = -[С2 + С3 (ЙоЧ-М)] {2l-ao)-(Ci-bC3l) Z2-C3o23-Л4{0.

Z3=a{Zi -ао) + Л12{0, Z4 = Z3, YZ.

(О = Ли (О +Сз*112 (О + сзз (О-

При автоматическом управлении полетом с помощью автопилота, стабилизирующего оси самолета, угол отклонения руля высоты х = Ь определяется теми же уравнениями, что и в примере 10, поскольку ошибками измерения угла тангажа с помощью гироскопической системы и ошибками рулевой машины можно пренебречь. Однако при подстановке в уравнение формирования требуемого отклонения руля высоты б*, производных Z и Z3 в это уравнение войдет дополнительное случайное слагаемое kT2N-2(t). В результате получим уравнения движения самолета при допущении о мгновенном срабатывании рулевой машины

Zi = Z2, Z2 = Со-C2Z1-C1Z2 - Сзф {Z5) - 11 (О,

Z3 = a{Zi -ао) + Л12(0. ZivZ, Z, = [k(T2a + l)/ri] (Zi- ао) + {ЙГ2/Г1) Z + (60 + Z3-Z,)lT + {ЙГ2/Г1) 12(t),

Yi = Zi~\-Z3, K2 = Z4.

Если учесть еще динамику рулевой машины и ввести дополнительную пе ременную состояния Z6 = ac = 6, то к написанным уравнениям добавится уравнение динамики рулевой машины

Z6 = iiJ{Ze-Z6, Ze), а второе уравнение заменится уравнением

Z2 = Со - C2Z1-C1Z2 - C3Z6 - 11 {О •

1.4.3. Системы со случайно изменяющейся структурой. В частном случае, когда одна из компонент, скажем, Nj{t), векторной

случайной функции N {t) в (67) представляет собой ступенчатую случайную функцию с одним и тем же при всех t конечным множеством возможных значений {si, .. ., s„}, уравнения (67) описывают поведение системы со случайно изменяющейся структурой. Каждому фиксированному значению случайной функции (t) соответствует определенная структура системы, которая описывается уравнениями

Z = /(Z, s„ N,(t), t), Y = g{Z, s„ N,{t), t),

где Nit) - векторная случайная функция, образованная всеми компонентами Л(/), кроме Ni[t). При переходе N{1) в случайный момент времени от одного значения к другому структура системы изменяется. При этом вектор состояния системы Z может претерпевать скачкообразное случайное изменение.

В общем случае размерности вектора состояния могут быть разными в разных структурах. Однако этот случай легко приводится к случаю неизменной размерности вектора состояния одной и той же для всех структур. Для этого достаточно принять максимальную из всех размерностей вектора состояния в различных структурах и считать отличными от тождественного нуля лишь те компоненты векторной функции / (Z, s, N{t), t), которые соответствуют компонентам вектора состояния Z в /г-й структуре.

Задачи исследования таких систем возникают при изучении управляемых систем в условиях, когда отдельные устройства системы управления могут выходить из строя, вследствие чего уравнения, описывающие работу системы управления, изменяются.

Другим типом систем со случайно изменяющейся структурой являются стохастические системы, которые описываются разными уравнениями в разных областях пространства состояний. К изучению таких систем сводятся задачи потери управления (срыва слежения) вследствие ограниченности диапазонов изменения переменных состояния, в которых система управления может функционировать. Изучение таких систем сводится к уравнениям того же типа (67). Допустим, что пространство состояний системы разбивается на п попарно непересекающихся частей А, Л„ так, что при переходе из одной части в другую структура системы изменяется. В этом случае уравнения стохастической системы имеют вид

Z = f(Z, S, Л(/). t), Yg{Z, S, N{t), t),

s=2s,u,(Z),

a 1л(г) - индикатор множества Af, т.е. функция z, равная 1 При zAf и О при zA. Ясно, что эти уравнения принципиально не отличаются от уравнений (67).