где Vg - Vg(t)-интенсивность вштеровского процесса Wit), а р,(/, х)л: -математическое ожидание числа скачков процесса W{t), равных с{х) (точнее, для любой бесконечно малой области Ах, содержащей точку л), р(/, х)Дх -о(Ах) представляет собой математическое ожидание числа скачков процесса W{t), принадлежащих множеству {у: у = с[х), хАх). Но математическое ожидание простого пуассоновского процесса, порождаемого потоком скачков процесса W {t), равных с{х), равно интегралу по времени от интенсивности Vp{t, x)dx этого потока;

\i{t, x)dx-[VpA, x)dxdx.

Подставив это выражение в предыдущую формулу, будем иметь

4 J [еЛ W i iVc(х)] Vp (т, х) dx\ dx. (27)

Для нахождения интенсивности процесса W {t) вычислим ковариационную матрицу k{t) его значения Wt при данном t. Так как {ТВ, п. 4.5.3)

то для нахождения k{t) достаточно дважды продифференцировать формулу (27) по Я и положить после этого А, = 0. В результате, учитывая, что /1(0; t) - \, получим

1пЛЛЯ; 0-1174 =

= 5ач-Лт) + \ c(x)4ew l]v(T, x)dx\dx,

1 д , л 1 dhi{X; t) dhijK; t)

кг(Х; t) diX Oik > h\(k\ t) ik oik

и с т \

= \ . Vo(T) -f \ С(X)с{ху Mvp (X, X)dx\ dx

0 \ R" >

fe(0 = S»)+ с{х)с{хуур(х, x)dx\dx.

0 V яп

dhi jk; t) dik

= 0,

Отсюда видно, что интенсивность v{/) процесса W (t) определяется формулой

V (О v,{t)-+\ с {х)с {ху vp {t, X) dx. -4 (28).

► Вычислим теперь стохастический дифференциал d(AU-Z). Согласно обобщенной формуле Ито (3.75) в этом случае в правой части формулы (23) вместо v будет интенсивность винеровского процесса и добавятся интегральные члены

5 \{A[UrH,c(x)]~Z-xpc{x)}x

y<l{Y~riC{x), 3ritic(x), ty-- (Л fy-Z) £ f - (Л priti - t) с (x) g -

- {AU-Z)c{xy>i>l

Vp{t, x)dxdt-\-

-t ] [{A[U + Pr]xp,c{x)]-Z - pc{x)}x

X(K-tv(x), Uynbc(x), ty-{AU-Z)l]dP>(K dx) = = 5 J[AU~Z~-{A§nxp,-xp)c{x)]x

x[5(K + tiC(x), fy~pntic(x), ty~l]-

-(AU-Z)c(xyri[~T4Ti) V\vp(t, x)dxdt + -f S {[AU-Z + (АРцр,-Щс(х)]1{¥ y-xp,c(x), и + щхр,с{х), ty-

- iAU-Z)V}dP(t, dx). Математическое ожидание первого интеграла добавится к выражению dM{AU-Z)t, найденному для случая винеровского процесса W (t) в п. 9.2.3, а математическое ожидание второго интеграла равно нулю. В результате условие dM(AU-Z) = 0 даст уравнение (24), в котором определяется формулой

x;l = Xol + M(Z-Л[/) +

+ MJ{Z-AU)\ff>l- 5 c(xyvp(t, x)dx-pl ( [

+ jM(Z-AU){tr + tr

-TiT

2r,P

du ) dy

S M[Z-AU + {-A,)c{x)]

X[l(Y + p,c(x), и-гРцхр,с{х), ty-l]vpit, x)dx. (29)

Эта формула отличается от (26) двумя дополнительными интегральными членами в правой части. М

Таким образом, в случае любого процесса с независимыми приращениями W {t) в (5) с нулевым метематическим ожиданием и конечным моментом второго порядка коэффициенты any определяются теми же уравнениями (15) и (24) после нахождения Л3 по формуле (18).

► В частном случае при Цу, и, t) = [yuY, ц{у, и, t) = I

(Г + ф,с(х), и + Н.с(х), /)-5-с(х)-ф1[/„р-], = [0 /л].

c{xYxp(t, х)хф1

И формула (29) дает

+ фv„фI-ЛpфlV„фI\[/J] + + 5 М [Z -ЛfУ-f (ф -ЛPфl)c(x)]c(x)Vp(/, x)dxy.

Хф1[/.РЧ = х„, + М<(2-ЛУ)ф1

с{х)с{ху \p{t, x)dx

R"

-ЛРф,

c{x)c{xy Vp{t, x)\dx

R"

ГгУ [/„151.

Отсюда на основании (28), пользуясь обозначениями (19), находим

или, в силу (18), Ио1 = Ио1. Таким образом, уравнение (22) для а, полученное для случая 1{у, и, /) = [у и], ц{у, и, t) = I при винеровском процессе W [t) в (5), справедливо при любом процессе с независимыми приращениями W [t) с нулевым математическим ожиданием и конечным моментом второго порядка. Л

Итак, оптимальные коэффициенты а, Р, у в уравнении фильтра (2) в общем случае определяются формулой (18) и уравнениями (15) и (24), в которых величины т, т,, т, щ, Ицз, Хц, Х21 и определяются формулами (16), (19), (21), (25) и (29).

9.2.5. Уравнения, определяющие условно оптимальный фильтр. Для вычисления математических ожиданий в (16), (19), (21), (24), (25), (26) и (29) в общем случае необходимо знать совместное распределение векторов Y, Z, IJt при любом ttg, т.е. одно-