Чтобы получить модель системы, описываемую линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, по частотной характеристике, найденной экспериментально, следует сначала аппроксимировать частотную характеристику рациональной функцией. После этого дифференциальное уравнение модели найдется изложенным методом.

Ясно, что и в случае многомерной системы все коэффициенты описывающих ее дифференциальных уравнений действительны тогда и только тогда, когда все мнимые и комплексные корни полиномов Fft(s), Яд(5) (й=1, т; h=l, п) являются попарно сопряженными числами.

Изложенный метод получения дифференциального уравнения многомерной системы дает одну из простейших форм этого уравнения, поскольку в каждое из уравнений полученной системы уравнений входит только одна компонента выходного сигнала. Вообще же задача нахождения дифференциального уравнения многомерной системы по ее передаточной функции не имеет однозначного решения. Одной и той же многомерной системе соответствует бесчисленное множество различных дифференциальных уравнений, связывающих входной и выходной сигналы. Чтобы понять это, достаточно заметить, что в случае многомерной системы с т выходами любое уравнение, полученное умножением уравнения (31) слева на произвольную неособенную тхт-ма-трицу, описывает поведение той же системы.

Задача приведения дифференциального уравнения многомерней системы к одной из простейших возможных форм имеет большое практическое значение.

§ 1.4. Стохастические дифференциальные системы

1.4.1. Общая форма уравнений стохастических дифференциальных систем. Стохастические модели систем учитывают действие различных случайных факторов. При применении моделей, описываемых дифференциальными уравнениями, учет случайных факторов приводит к уравнениям, содержащим случайные функции, т. е. такие функции, значения которых при данных значениях аргументов являются случайными величинами (п. 2.1.1).

Дифференциальные уравнения (15) для стохастической системы (точнее, для стохастической модели системы) должны быть заменены в общем случае уравнениями

Z = F(Z, X, t), Y = G{Z, t), (64)

где F{z, X, t) и G{z, /) -случайные функции р-мерного вектора z, n-мерного вектора х и времени t (при этом, как правило, G от X не зависит). Вследствие случайности правых частей уравнений (64) и, возможно, также начального значения вектора состояния Zo = Z{to) вектор состояния системы Z и выходной сигнал Y

В каждый данный момент t представляют собой случайные величины. Поэтому мы обозначаем их, так же как и случайные функции в правых частях уравнений (64), большими буквами {ТВ, п. 1.2.1). Рассматриваемые как функции времени t, вектор состояния системы Z{t) и ее выходной сигнал Y {t) представляют собой случайные функции времени t (в общем случае векторные). В каждом конкретном опыте случайные функции F{z, х, t) и G{z, t)-реализуются в виде некоторых конкретных функций f{z, х, t) и g{z, t) и этим их реализациям соответствуют вполне определенные реализации 2 (7), г/(/) вектора состояния Z{t) и выходного сигнала Y {t), которые, очевидно, определяются дифференциальными уравнениями (реализациями уравнений (64))

2 = /(2, X, t), y = g{z, t).

Таким образом, мы приходим к необходимости изучать дифференциальные уравнения со случайными функциями в правых частях.

В задачах практики случайность правых частей дифференциальных уравнений обычно выражается в том, что они представляют собой некоторые вполне определенные функции, но в число их аргументов входят не вполне определенные величины, которые считаются случайными величинами (если они не изменяются со временем, представляют собой параметры) или случайными функциями (если они изменяются со временем и, может быть, в зависимости от состояния и входного сигнала системы). Однако, если правые части уравнений системы содержат случайные функции вектора состояния Z и выходного сигнала Y системы, то их обычно заменяют случайными функциями времени, которые получаются, если их аргументы Z uY считать известными функциями времени, соответствующими номинальному режиму работы системы. В задачах практики такой прием обычно обеспечивает достаточную точность. Системы, описываемые дифференциальными уравнениями со случайными функциями вектора состояния, можно также приближенно изучать непосредственно, не прибегая к этому приему. Подходящим математическим аппаратом для этого является метод канонических разложений случайных функций [56] (§ 102), [119], [102] (вып. 12).

В этой книге мы ограничимся случаем, когда все неопределенные величины в правых частях уравнений можно считать случайными функциями времени. Тогда уравнения (64) запишутся в виде

Zf{Z, X, N,{t), t), Y = g{Z, N,{i), t), (65)

Где / и g-вполне определенные функции, в число аргументов Которых входят случайные функции времени Nx{t) и N{1). Начальный вектор состояния системы Z в задачах практики всегда Является случайной величиной, независимой от случайных функ-

ций Ni (t) и N2 (О (от действующих на систему случайных возмущений). Каждой реализации [ni(t) nityy случайной функции [Ni{tyN2ity] соответствуют определенные реализации /(2, х, пг{0, t), g{z, n,{t), t) функций f(z, X, N,{t), t), g{z, N2(1), t), и в соответствии с этим уравнения (65) дают определенные реализации z{t) и y{t) вектора состояния системы Z{t) и ее выходного сигнала Y{t).

1.4.2. Уравнения стохастической дифференциальной системы при автоматическом управлении. При автоматическом управлении системой, описываемой уравнениями (65), функция h(y, t), определяющая цель управления, измеряется со случайными ошибками, а в преобразующих устройствах, формирующих требуемый входной сигнал X*, всегда действуют шумы и помехи. Вследствие этого уравнения формирования требуемого входного сигнала и действительного входного сигнала с учетом дополнительных переменных, необходимых для приведения этих уравнений к уравнениям первого порядка, запишутся в виде

Х = Ф(Х, и, t\ и = {Х, Z, и, N,{t), t), (661

где и-вектор, составленный из требуемого входного сигнала и вспомогательных переменных, а iVg (О -некоторая случайная функция времени t (в общем случае векторная). Записывая эти уравнения, мы учли, что вследствие действия шумов, описываемых случайной функцией N<i{t), вектор U и входной сигнал X будут случайными функциями времени, и в соответствии с этим обозначили их большими буквами. Добавив эти уравнения к первому уравнению (65), получим уравнения

Z = /(Z, X, N,{t), t) Х = Ф(Х, и, t), U==yp{X, Z, и, N.,{t), t).

Эти уравнения могут быть записаны в виде одного уравнения, определяющего расширенный вектор состояния системы Z = = [ZXUy-.

Z, = h{Z„ N,{t), t), где N,{t) = {N,{tYN,{tyY, a

h{z„ N„ t) = [f{z, X, N„ ty4>ix, u, tyix, z, u, N3, tyy.

В результате, отбрасывая индексы у Zj и [fi, заменим систему уравнений (65) и (66) уравнениями

Z = f{Z,N,{t),t), Y-g{Z,N2{t),t).

В задачах практики случайные функции Ni{t) и N2{t) почти всегда независимы. Однако случайная функция [t) зависит от Ni{t) и N2{t) вследствие того, что в уравнения (66) входит функция h{Y, t) = h[g{Z, Niit), t), t) и ее полная производная по