Fy= Т. y-s \ yAY, г, ОС., ,Лг--т)р*(г; 6)2-

s- 1 - 00

р «-1 "

-2 2 хд.-, о,Л), гЛ)С-.-...-.Лг-"ОЛ*(2; ЩЛг, (33)

V - ос

р "

y-s ] (фАф1)(к, г, t)Gr.-,,Jz-w)p*{z: Q)dz~

- с,,\{ЬхГг)-АУ, t). (34)

На основании формул (9), (12) и (13) приложения 1 для производных полино.мов Эрмита G с учетом того, что q. [z) = G. (z-m), величины dqyX)/dZ„ dqy,{a)/dR,,,, d-qyXa);dZdZ,„ dqy{a)/dR,,dR,,i, d- qyA<y)/dZ,dR,,i в этом случае пропорциональны соответствующ1тм квазимоментам;

дОу (а) dZ, = - KgCy-e,,

(iQy {a)ldR,, = - у дЧ1у, {a)ldZ\ = = - у (" ) -

г7. (a)/d/?,„ = - г/Оу {d)ldZ, dZ„ = - z .„c- „„

rJ47. (c.)/d/?i, -= I x, (y.,-1) (x,- 2) (x, - 3)c.,

dhiyXo.)!dR,,dR„„-y.,~\)y„{y-h-\)Cy..,e,-2e,

d-qy (a)ldR,,dR,i = у . (x1) (x,- 2) x,q-.

d-q {a)/dR,,dR„i = x, (x, - 1) x..x,c-. . dqy.{a.)/dRs„dR,i - (x, - 1) x„x;c- 2<;, e -<

За начальные значения коэффициентов при i=fo следует прштять соответствующие коэффициенты ортогонального разложения условной плотности величины Z„ относительно Y.

8.2.5. Метод квазимоментов. В частном случае разложений (12) по полиномам Эрмита коэффициенты С\. представляют собой квазимоменты (п. 2.3.2). В этом случае на основании формул (9) -(11) приложения 1 для производных полиномов Эрмита Gv формулы (31) и (32) приводятся к виду

*) Число моментов (семиинвариантов, квазимоментов) порядка г р-мер-ного случайного вектора равно Ср , r~i--{Рг - \)\/г1 (р - \)\, а полное число моментов (сеииинвариантов, квазимоментов) порядков 1, . . ., Л равно Ср,А-1 = (р-: Ny./p\N.-l.

dq., {a)/dZ OR„ = -i X, (K, - 1) (x, - 2) 3.,, d-q {a)/dZ, dR,i = (x, - 1) x,c.

r}-f. !:)/(Z, dR;., = 4 >/«A - 1 ) Cx-.. - -le,

Метод квазимоментов для приближенного решения задач нелинейной фильтрации был предложен в [74].

Пример 9. Уравнения (30) для апостериорных квазимоментов в задачах примеров 7 и 8 совпадают с \ равнениями для семиинвариантов, так как квазилюменты до пятого порядка включительно совпадают с соответствующими семиинвариантами (п. 2.3.3). Различие получится только при аппроксимации (г) отрезком разложения по полипома.ч Эрмита с учетом моментов (семиинвариантов) по меньшей мере до шестого порядка.

8.2.6. Сокращение числа уравнений. Изложенные в пп. 8.2.1 - 8.2.5 методы дают принципиальную возможность получить приближение к оптимальной оценке с любой степенью точности. Чем выше максимальный порядок /V учитываемых моментов, семиинвариантов или квазимоментов, тем выше будет точность приближения к оптимальной оценке. Однако число уравнений, определяющих параметры апостериорного распределения, быстро растет с увеличением числа учитываемых параметров. В табл. 2 в гл. 6 (с. 411) показана зависимость числа уравнений в системе, определяющей параметры апостериорного распределения, от размерности р вектора состояния системы и наивысшего порядка учитываемых моменюв, семиинвариантов или квазимоментов*). Из этой таблицы видно, что даже для вектора состояния системы сравнительно небольшой paaMepiiocTH, порядка 10, число уравнений, определяющих параметры апостериорного распределения, достигает 1000 при зчете ыо.ментов, семиинвариантов или квазимоментов ДО четвертого порядка. При необходимости учета моментов, семиинвариантов или квазимоментов до 10-го порядка число уравнений достигает 1000 для четырехмерного вектора состояния. Вследствие этого изложенные приближенные методы решения уравнений оптимальной нелинейной фильтрации практически реализуемы только при невысокой размерности расширенного вектора состояния системы, включающего все деременные состояния и неизвестные параметры. Между тем число подлежащих оцениванию неизвестных параметров во многих задачах практики

u=(z-Z-)C{z-Z),

1 + 2 СуРу (и)

(35)

где С-матрица, обратная по отношению к ковариационной матрице ошибки фильтрации R, C - R. На основании формулы (6.97)

?v((-zOcf-z))g,()

я,=о

Чтобы найти стохастический дифференциал с, применим формулу Ито (3.61), учитывая, что представляет собой функцию трех случайных процессов Z{t), Rit), gt{X), стохастические дифференциалы Ито которых определяются формулами (27), (28) и (7.16). В результате получим уравнение (30), которое на основанич равенства (а) = Mq (U) перепишем в виде

у s=! S, и=1

оказывается больше 100. Для таких задач практически реализуем только метод нормальной аппроксимации апостериорного распределения. В первых двух строках табл. 3 в гл. 6 (с. 411) показана зависимость числа уравнений в системе, к которой приводит метод нормальной аппроксимации, от размерности вектора состояния (расширенного) системы.

Число уравнений, приближенно определяющих апостериорное распределение вектора состояния системы Z, может быть уменьшено тем же способом, что и в п. 6.6.7. Этот способ основан на том, что взаимная зависимость компонент вектора Z характеризуется только их ковариациями. Число уравнений для параметров распределения при таком подходе показано в последних четырех строках табл. 3 в гл. 6 (с. 411).

Однако наиболее радикальное сокращение числа уравнений для параметров апостериорного распределения дает метод эллипсоидальной аппроксимации, излагаемый в п. 8.2.7. Число уравнений для параметров апостериорного распределения, к которым приводит этот метод, лишь на N12-1 превышает число уравнений метода нормальной аппроксимации (в этом случае Л обязательно четное).

8.2.7. Эллипсоидальная аппроксимация апостериорного распределения. Применим метод эллипсоидальной аппроксимации для приближенного решения задачи оптимальной нелинейной фильтрации. Для этого аппроксимируем апостериорную плотность Pi{z) формулой