йие уравнений (21) при действии сигнала е*на одном /i-м входе определяется формулой

у = Ф/, (s) + CiVie. + .. . + Cp-jf?K (62)

где Ci, .... с, -произвольные постоянные. Отсюда следует, что установившаяся реакция рассматриваемой системы на показательный сигнал е* на h-ш входе, независимая от начальных условий, существует только в том случае, когда все корни характеристического уравнения Sj, • ,Sp имеют отрицательные действительные части, а действительная часть параметра s отрицательна или равна нулю. Если эти условия не выполнены, то реакция системы на сигнал е* неограниченно возрастает. Однако и в этом случае можно говорить об установившейся реакции системы на сигнал e если первое слагаемое в правой части (62) растет при t ~оо быстрее, чем все остальные слагаемые. В этом случае при достаточно длительном времени работы системы t реакция ее на сигнал е* будет практически выражаться одним первым слагаемым в правой части формулы (62).

Для определения передаточной функции от h-ro входа ко всем выходам системы разделим формулу (62) на е:

y/et cygis,-S) + ... cyeis,-s)t (63)

Если действительные части всех разностей Sj-s, .. ., Sp - s отрицательны, то все показательные функции в (63) стремятся к нулю при ->схэ. В этом случае передаточная функция системы, представляющая собой отношение реакции этой системы на бесконечно долго действующий на ее h-м входе сигнал е к е*, определяется одним первым слагаемым в формуле (63), т. е. равна Ф/гС). Если хотя бы одно ИЗ чисел Si-S, ...,Sp-s имеет положительную действительную часть, то соответствующая показательная функция в (63) неограниченно возрастает при t ~оо и, следовательно, передаточная функция системы не существует.

Таким образом, передаточная функция стационарной линейной системы, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями, существует только в области значений s, действительные части которых больше действительных частей всех корней характеристического уравнения Sj, Sp. Иными словами, передаточная функция этой системы существует только в полуплоскости комплексного параметра s, расположенной справа от вертикальной прямой, проходящей через корень характеристического уравнения с наибольшей действительной частью (эта Полуплоскость заштрихована на рис. 8). Левее этой прямой и На самой прямой передаточная функция не существует, несмотря На то, что вторая формула (55) формально определяет ее при всех значениях s, кроме точек s, ..., Sp. Этот вывод справедлив и в случае кратных корней характеристического уравнения, так Как при любом / > О произведение ГеА") стремится к нулю

b{s}

Рис. 8

при t-oo, если действительная часть параметра s больше действительной части корня характеристического уравнения, и неограниченно возрастает, если действительная часть параметра

S меньше или равна действительной части корня Sft.

Из условия устойчивости линейной системы (9) следует, что для устойчивости стационарной линейной дифференциальной системы необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения (60) были отрицательными. Отсюда выводятся критерии устойчивости стационарных линейных дифференциальных систем, основанные на знании только коэффициентов характеристического уравнения (60) ([57], § 6.2). Передаточная функция Ф (s) устойчивой системы существует при чисто мнимых значениях s, т. е. существует частотная характеристика системы. Для неустойчивой системы частотная характеристика не существует и может использоваться только в формальных выкладках как рациональная функция комплексной переменной s, существующая при всех s, не совпадающих с ее полюсами Sj, . . ., Sp.

Пример 20. Из дифференциальных уравнений примеров 3-5 по формуле (56) непосредственно получаются формулы для передаточных функций, выведенные в примерах 12-14.

1.3.7. Нахождение дифференциального уравнения по данной передаточной функции. Из предыдущего следует, что передаточная функция стационарной линейной системы, описываемой дифференциальными уравнениями, является рациональной функцией комплексной переменной s (в случае многомерной системы все элементы матричной передаточной функции - рациональные функции s). Справедливо и обратное утверждение: любой стационарной линейной системе с рациональной передаточной функцией соответствует дифференциальное уравнение (линейное с постоянными коэффициентами), связывающее входной и выходной сигналы.

Если передаточная функция Ф(8) одномерной системы рациональна, то ее можно представить в виде отношения двух полиномов Ф(5) = Я (s)/F{s). Из (58) и (59) следует, что в эток случае входной и выходной сигналы системы х м у связаны дифференциальным уравнением (58). Таким образом, чтобы по данной рациональной передаточной функции одномерной системы полу-

чить ее дифференциальное уравнение, следует заменить в числителе и знаменателе передаточной функции переменную s оператором дифференцирования по времени D = d/dt. Полученные в результате дифференциальные операторы образуют соответственно правую (со входным сигналом) и левую (с выходным сигналом) части дифференциального уравнения.

Легко видеть, что для того чтобы все коэффициенты уравнения (58) (или, что то же, (31)) были действительными, необходимо и достаточно, чтобы все чисто мнимые и комплексные корни полиномов F{s) и Н (s) были попарно сопряженными.

Если передаточная функция 0(s) многомерной системы рациональна, то все элементы Ф,, (s) р-й строки матрицы 0(s) путем приведения к общему знаменателю можно представить в виде

Hpq{s)lPp{s) (р=1.....m;q=\,...,n), где Я (s) и Fp(s) -

полиномы. Вводя матрицу Н{s) с элементами Hpq{s) и диагональную матрицу F{s) с элементами Fi(s), . . ., F{s), представим передаточную функцию системы в виде Ф(5) = Р(8)~Н(8). Тогда дифференциальное уравнение, связывающее входной и выходной сигналы л: и г/, будет иметь вид (58). При этом коэффициенты До, ..., а:„ в выражении (57) полинома F (s) будут диагональными матрицами т-го порядка.

Пример 21. Передаточная функция системы с двумя входами и двумя выходами определяется формулой

Г 11 kt2

Ф{в) =

s+ai s + ai

k21 22

Ls+a2 s+aaJ

Здесь все элементы каждой строки матрицы имеют общий знаменатель, и, следовательно, согласно изложенному методу

F(s) =

s + ai О О s + tta.

H{s) =

21 *22.

И дифференциальные уравнения системы имеют вид

У1 + = kiiXi + ki2X2,

У2 + «21/2 = kilXi + 22:2-

Дифференциальное уравнение стационарной линейной системы можно такженайти по заданной частотной характеристике, если она представляет собой рациональную функцию частоты со. Для этого достаточно вспомнить, что частотная характеристика представляет собой передаточную функцию при s = m. Тогда будет ясно, что для нахождения дифференциального уравнения системы необходимо представить ее частотную характеристику в виде Отношения двух полиномов относительно ico, Ф(1со)=(/со)~Я (ico). После этого дифференциальное уравнение системы получится так *е, как в случае заданной передаточной функции.