шоаюетью определятся математическим ожиданием и ковариа-аиоииой матрицей составного вектора [ZlXlX . . . Xi,"].

Для нахождения математического ожидания и ковариацион-яш матрицы вектора [ZJXJX . . . Xo-напишем выражения дланаблюдаемого сигнала и его производных при t = to, имея в виду, что каждое дифференцирование произведения bZ по ус-йсвшо дает линейную функцию вектора Z без белого шума:

=b,,z,+6* + i: =о, 1,..., S -1),

( = 0

да Ью, ьц, &1, -значения матрицы Ь, и полученных в результате дифференцирования матриц-коэффициентов при Z„ при t=toy boD. 09, &оо~" -значения вектора Ь„ и его производных при t = to, Фю, Фй. фй~- значения матрицы фх и ее производных при / = Введя матрицу Bi = [bJobli . . . bl s-iV> вектор Bp = [bJooo • • • Ь"" Т и матрицу W с блоками ф,у = = С{1ф{э-> при ф = 0 при 1< / (I, / = 1, s), можем

переписать полученные равенства в виде

[xixo... хгП=+5„+¥ [щщ-... игП-

Отсюда, считая математическое ожидание помехи тождественно завным нулю, находим математическое ожидание вектора

ВД- ... хгу-.

[МХтХУ . . . МХГ] = B,MZ, -г- Б„, «го ковариационную матрицу

S взаимную ковариационную матрицу векторов Z„ и [XlXg . . . ;С«-1)т-]т;

где/Се -ковариационная матрица вектора Z,,, а /(„ - ковариационная матрица вектора начальных значений помехи и ее производных [UlUo.. . Ui"]. Полученные формулы полностью определяют математическое ожидание и блоки /С = /С„, /С, /( и Кх ковариационной матрицы вектора [ZlXjXy . . . Xo~"y.

Пользуясь известными формулами для условных математиче-гкого ожидания и ковариационной матрицы проекции нормально распределенного вектора относительно его проекции на дополнительное подпространство (приложение 4, формулы (2) и (3)), находим

M[z,\x„ х;, ХГ"] = = Mz,+K,xJ<x4[xixo хг"У-[мхтхд-... мхгу),

Кг\х = Ко - КгхКхКхг)

(38) и (39) находим

Zi„ = D„Xo/(£>„4~£-[-Di). Z20-0,

Z3o=£>X„/(Z)o-b£ + £i), Z4o = 0,

110 = D„ - rfo/iD, + £> + £>!), = ШоОо.

R3s, = D~DViD, + D + D,), /?44o = m

Rij=-0 при i ?i /.

Пример 8. В условиях примеров 3 и 5, принимая во внимание, чтб начальное значение переменной Z5 в условиях задачи не определено, вследствие чего его .можно взять произвольно, в частности положить Z5o = 0, получаем те же начальные значения Z,, Z2, Z3, Z4, Rij (i, / = 2, 3, 4), что и в предыдущем примере, и, кроме того, Z5o = 0, /?isa =

= 250 = /350 = /450 = Ri>bo -" О-

Пример 9. В условиях примера 6 при Z4o = 0 формулы (38) и 33§i дают те же значения Zio, Z20, Z30, Z40, Ruq, R220, R330, что и в примере 7,

и, кроме того, /?140 = -240 = 340 =/?440 = 0.

7.3.7. Дифференцирующие свойства оптимального фильтра в случае автокоррелированной помехи. Заметим, что если система предварительного преобразования наблюдаемого сигнала, в частности система, обратная формирующему фильтру помехи, выполняет s-кратное дифференцирование этого сигнала, то на вход соединенного с ней фильтра Калмана - Бьюси поступают произ-

где Kz\x--условная ковариационная матрица вектора относительно [XlXg.. . ХоУ. Подставив сюда полученные выражения [MXlMXy ... МХГУ, К:,, К, и К, = К1х, найдем искомые начальные значения оценки Z и ее апостериорной ковариационной матрицы R:

Z„ = MZ„ -f K,Bl {B,K,Bl T K,y 1X

х([ад-... xry~B,Mz,-B,), (38)

/?„ = /C„~/C„i5l(Bi/C„Bl-W„¥-)-5i/C„. < (39)

Отметим еще раз, что только при этих начальных условияж фильтр, построенный методом п. 7.3.4 или п. 7.3,5, будет оптимальным.

Пример 7. Чтобы найти начальные условия для фильтра примеров 2 и 4, будем считать коэффициенты при sto ш„/ и cos at в выражении ся-нусоидального сигнала независимыми нор.мально распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и дисперсией До- Тогда, пользуясь формулами (2.56) и (2.57) для вычисления коварма-ционных функций производных случайных функций Zi и 2з и их взаимных ковариационных функций с их производными и Z, получим MZm = = MZ2o = MZ3„=--MZ,„-.= 0, Kx=D„ + D + Di, K,x = D„, КхО, K,,D,

водные наблюдаемого сигнала до порядка s включительно. При этом согласно результатам п. 1.3.5 выходной сигнал фильтра будет содержать линейную комбинацию наблюдаемого сигнала и его производных до порядка s-1 включительно. Эту линейную комбинацию можно выделить, применив метод п. 1.3.5 к дифференциальному уравнению фильтра Калмана - Бьюси, входной £игнал которого содержит производные наблюдаемого сигнала.

Рис. 22

В результате фильтр Калмана - Бьюси заменится параллельным соединением системы, выполняющей дифференциальную операцию порядка S-1 над наблюдаемым сигналом, и фильтра Калмана-Бьюси, получающего на вход сам наблюдаемый сигнал с некоторым (в общем случае матричным) коэффициентом усиления и выходной сигнал той части преобразующей системы, которая ®писывается дифференциальным уравнением. Это преобразование можно также выполнить структурными преобразованиями оптимального фильтра ([57], § 4.7). Для этого следу-ег иpeдcтaвитL фильтр Калмана -Бьюси (рис. 22, а) схемой, показанной на рис. 22, б, объединив обе обратные связи, а затем каждый дифференциатор последовательно перенести по ходу сигнала через объединенный усилитель (с коэффициентом усиления о = 7р) (рис. 23, а, б), потом через сумматор (рис. 23, б, в), затем перенести сумматор по ходу сигнала через точку разветвления (рис. 23, в, г, д) и перенести усилитель с коэффициентом усиления ai = ai -pt-L против хода сигнала через сумматор (рис. 23, д,е) и, наконец, поменять местами получившиеся рядом сумматоры (рис. 23, е, ж). Если перед входом фильтра Кал.мана - Бьюси есть еще дифференциаторы, то при повторении преобразования они все попадут в прямую цепь, параллельную фильтру Калмана-Бьюси на рис. 23, е*).

В результате такого преобразования s-кратное дифференцирование входного сигнала перед входом фильтра Калмана - Бьюси

*) Чтобы проверить эквивалентность всех схем на рис. 23, достаточно, сравнить входной и выходной сигналы каждого преобразуемого участка схемы до и после преобразования и убедиться в то.м, что они совпадают.