нения (31), при подстановке в него выражения (48) сократятся, и мы получим дифференциальное уравнение для г.

(51)

at, = at, -

m min {k, s)

k--k- S 2 Cf-P ( = 0,1,..., m-V).

s = max(0. ft-n+m) r = max(0, ft-n+m)

Изменив здесь порядок суммирования и учитывая, что max min (/г, s) =/г npnfem-1, sm и что rs, получим

~Ч=-аи- 2 1:С№Л

г = щах(0, k-n + m) s-r

а, = а,- 2 "2С;,Л.Л [( = 0, 1,..., Л-/П).

r=max(0, k-n + m) ft= О

(52)

Формула (48) показывает, что система, обратная системе, описываемой уравнением (31) при 0<m<n, представляет собой

параллельное соединение системы, выполняющей дифференциальную операцию

п-т k=0

Рис. 7

над входным сигналом, и системы, описываемой дифференциальным уравнением (51) (рис. 7, на котором буквой К отмечена система, описываемая уравнением (51)). М

Формулы (49) и (50) показывают, что обратная система может существовать только у такой системы, у которой входной и выходной сигналы имеют одинаковую размерность.

В частном случае стационарной системы формулы (50) и (52) принимают вид

{k = m.....л-1), (53)

r=max(0, k-n + m) k

а==а- S b,ci, , (й = 0, 1, ...,m-l). (54)

r=max(0, k-n + m)

Пример 19. Для системы, описываемой уравнением примера 18,

Ci = bi\, Со = б2 (os -6iCi-262С1).

= flo - *оСо - biCo - 62С0. fli = Ol - Vi - biCo - bicl - 61C1 - 2biCi.

1.3.6. Передаточная функция стационарной линейной системы.

Для нахождения прредаточной функции стационарной линейной системы, описываемой уравнениями (21), необходимо положить flj = 0, 60 = О и вместо каждой компоненты входного сигнала Х/ по очереди подставить в (21) показательную функцию а вместо выходного сигнала у - функцию Ф(5)е* где (s) - /i-й столбец матричной передаточной функции системы Ф (s) (/i = 1, . . ., л). При этом следует положить г = ¥ (s) е Сократив полученные уравнения на е*, найдем 4(s) и Ф{5). Вместо этого можно прямо найти ¥(5) и Ф(5), положив в (21) х = 1е, y = 0{s)e*, г = (s)e. В результате получим после сокращения на е

s¥(s) = a¥(s) + ai, Ф(5) = 6¥(5).

Решив эти уравнения относительно (s) и Ф(5), получим

iF(s) = -(a-s/)-iai, Ф (s) = - 6 (а -s/)-iai. (55)

Отсюда видно, что передаточная функция стационарной линейной системы, описываемой дифференциальными уравнениями (конечно, линейными с постоянными коэффициентами), представляет собой рациональную функцию комплексной переменной s.

В частном случае одномерной системы, описываемой уравнением (31) с постоянными коэффициентами при тл, пользуясь формулами (44) и (45) для матриц а, а-, Ь, находим после несложных вычислений

(Ь(л- bn,s- + b„rs--+...+bxs + b,

a„s» + a„ iS--i+...+aiS-fa„

Однако эту формулу можно вывести значительно проще. Поло-Жим в уравнении (31) x=f\ у = Ф{5)е. Тогда, имея в виду. Что

at"

Получим

Ks" + a„ is«-i -f ... + as + Яо) Ф (s) e =

обратная система представляет собой параллельное соединение системы, выполняющей дифференциальную операцию

L = Co + CiD,

и системы, описываемой дифференциальным уравнением biZ + bz iboZ = aiy + aay,

Сократив это уравнение на показательную функцию и решив относительно Ф(8), получим формулу (56).

В дальнейшем нам будет удобно записывать дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами сокращенно в операторной форме. Для этого введем полиномы

F(S) = as"- + Qn.iS"-! + ... + as + Qo = 2 as,

-0 (57)

Я(8) = &„8" + &„ 18-1+...+&,8 + &о- 2 bsK

Тогда дифференциальное уравнение (31) запишется коротко в операторной форме:

F{D)y = H{D)x. (58)

Формула (56) для передаточной функции одномерной системы примет вид

0{s) = H{s)/F is). (59)

Вторая формула (55) определяет передаточную функцию стационарной линейной системы, описываемой дифференциальными уравнениями (21), при всех значениях s, кроме совпадающих с корнями характеристического уравнения

а-s/ = 0. (60)

Однако физически эта передаточная функция существует не при всех значениях s. Действительно, формула

y{t) = Ф,{s)ef (61)

определяет установившуюся реакцию системы на показательное возмущение, действующее на одном Л-м входе, не при всех значениях S. Реакция системы на показательное возмущение, действующее на одном h-M входе, в общем случае представляет собой общее решение уравнений (21), а не частное. Для получения общего решения уравнений (21) следует к найденному частному решению (61) добавить общее решение соответствующих однородных уравнений

z = az, y = bz.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что если корни характеристического уравнения (60) Si, Sp все различны, то общее решение уравнений (21) представляет собой линейную комбинацию показательных функций Уle, ..., уер* с произвольными коэффициентами, где у, ...,Ур-т-мерные векторы, определяемые матрицами а, Ui, b в выражении весовой функции, полученном в п. 1.3.2. Таким образом, в случае, когда харак-.рСристическое уравнение не имеет кратных корней, общее реше-