И ТО же, 01носительно Y и AY определяется формулой

pt{z)qt{AY\Yt, Z)

5 pt(z)qt(AY\Yuz)dz

Числитель здесь представляет собой совместную условную плотность величин Zf и af относительно Y, а интеграл в знаменателе- условную плотность величины AY относительно f. Для определения q((AY \ Yf, z) заметим, что на основании первого уравнения (9) при2 = г

AY=-<H(Yi, Z, /)А/ + г.;(Г„ i)AW,.

Отсюда видно, что при данных значениях Y и Z = z AY представляет собой линейную функцию нормально распределенной величины AWСледовательно, условное распределение AY при данных значениях Yf и Z = z нормально, и для определения {AY I YZ) достаточно найти соответствующие условные математическое ожидание и ковариационную матрицу вектора АУ. Пользуясь известными формулами для математического ожидания и ковариационной матрины линейной функции случайного вектора (ТВ, п. 3.3.5), принимая во внимание, что ковариационная матрица Гектора AW равна IAt, и опуская аргументы функций Фх и 4-1, получаем *)

М [АГ I Y,, Z] = ф1 А/, Кку = tlTl)? А/,

или, принимая во внимание первое уравнение (10),

уИ[АГГь 2] = ф1А, KYx\iVy At.

Следовательно,

цАУ\Уи г) = сехр \-{AY-xp\At){MirAy-Ht)\,

где с - нормирующая постоянная. Учитывая, что величины At и AY бесконечно малы, можем представить показательную функцию формулой Тейлора с остаточным членом порядка о (А/). Тогда получим

9, (АГI У и Z) = с ехр I - 2 AY (tIiVID АГ +

+ фТ (IlVtl)- АГ-1 ф1 (Tlivl)- 4i А/} = = сехр {-2АУ- (liiVilD-Arl J1+фТ (vi1;T)-i ду -4 ф1 (r)ivii)l)-4pi а/ +1 ф1 (r)ivr)I)-i АГ af (Чф!)" фх

*) Через 1щ обозначается единичная тХт-матрица.

Учитывая, как и в п. 3.5.2, только математическое ожидание величины

М AY АГ = ( i АР -г- f f At = tivtl t ~Y о {At),

получим

q, {AY I Yt, г) = с exp - AY {MD [1 + дКЧЦ)" АГ] и, так как ф1 не зависит от z, 5 p,{z)qt{AY\Y„ z)dz =

- 00

= cexp{--ArMWl)-A>j- [1 +Т1(М1)-АП.

Подставив полученные выражения AF Y, z) и интеграла в (13), будем иметь после сокращений

«••-".иттгт-

Представив 1/[1AF] формулой Тейлора с остаточным членом порядка o{At), выполнив умножение и учитывая, как и раньше, только математическое ожидание величины AFAF, получим

Pt (г) = Pt (Z) [1 + ф1 (tivil)!)- АГ] [1 -ф1 (tiVTl)!)- АГ + + фI(т)lVЧI)-Дr AF (t-ivi-l)-4il = = /Ot (2) {1 + (Ф1- фП (f vtj)I)-i [AF- АГ AFi(tiVi,I)-i ф]} =

= Pt (2) [1 (ф1 - cpl) (T)iV.4,I)-4Ar- ф1 А/)].

Теперь можно вычислить второе слагаемое в правой части формулы (11). Учитывая, что согласно (3.61)

f(Z+Ab / + А0 =

= /(2ь 0+{ft(2t, 0 + f.(2,, 04 + Ytr[f..(2t, t)t-At +

+ fAZu t)AxAW, + fAW2) = = /(Z„ 0 + AA + f,(Z„ t)AAW, + r AW.,),

= 0 + 0ф + 4-tr[f„(2„ t)xvr],

а ф и ф" зависят только от Yf, Zf, t, находим M[f{Zt м, t-rAt)\Yi:]-M[f{Zt.t, tM)\Yi] =

X (фГ- cf D fev44)-MAF - ф1 A/) (г) dz,

или, пользуясь первым уравнением (9) и учитывая только слагаемые порядка не выше Л,

MifiZtM, t + At)\Yl:]M{f{Zt,At, / + А/)УУ =

= \ f{z, /){ц,1-7р1)pAz)dz{xp,vrr)-4AY-?p,At) +

+ ] fAz, tyipAW,AWJi7+x"AW2AWlxpr)x

- CO

X ibni)- (Ф1 - Фх) Pt (z) dz = M[f (Zt, t) (Ф1 - ФГ) i

x{iH4iyAy-4\dt)A- ] fAz, ty{AW,AWlyA

- CO

+ f Air, AWlfy) iMiy (Ф1 - Ф1) Pt iz) dz.

Наконец, учитывая только математические ожидания величин AWiAWj и AWjAWl и принимая во внимание, что вследствие независимости W, и MAWiAlFI = 0 и что согласно второму уравнению (10) -["sy = tvx\l, получим

M[f{Ztu Н-А/)Г?:]-М[/(2,.д,, tAAt)\Y\ =

= M\f{Zt, t)ypl-xa)\YU{x,v-l)-AAY-iAAt) +

+ M[fAZu tyЧАгШУАх- A\Yit- (14)

Подставив выражения (12) и (14) в (11) и переходя от приращений к дифференциалам, получаем окончательную формулу для стохастического дифференциала оптимальной оценки величины f{Z, ty.

dj= M[fAZ, t) + fAZ, ty4>{Y, Z, t) +

+ ltr{f,,(2, 0(W)(, Z, t)}\Yi

+ M[f{Z, t){xpAY, z, ty~-j} + + fAZ, tyixpvxpi)iY,Z, t)\Yl]iiVxpiyAY, t){dY~,dt), (15)