Само собой разумеется, для существования обратной системы в этом случае необходимы выполнение неравенства ЬфО при всех t в случае одномерной системы и обратимость матрицы Ь, при всех t в случае многомерной системы. При этом условии обратная система выполняет линейную дифференциальную операцию

L = &„-l2«A Ddjdt,

к=.0

Над входным сигналом.

► При 0<т<п операции, выполняемые обратной системой, будут, очевидно, включать (и -/п)-кратное дифференцирование входного сигнала. В результате выходной сигнал обратной системы будет содержать линейную комбинацию входного сигнала и его производных до порядка п - т включительно. Для нахождения обратной системы в этом случае необходимо найти эту часть

«

1.3.5. Обратные системы. Системой, обратной по отношению к данной системе, называется такая система, которая, получая на входе выходной сигнал данной системы, дает на выходе ее входной сигнал (при соответствующих начальных условиях). Таким образом, обратная система производит преобразования сигналов, обратные тем, которые производит данная система. Очевидно, что если система В обратна системе А, то система А обратна системе В. Иными словами, А и В являются взаимно обратными системами. Примерами взаимно обратных систем могут служить усилитель с коэффициентом усиления k и усилитель с коэффициентом усиления l/k, дифференциатор и интегратор.

Если данная система с входным сигналом х и выходным сигналом у описывается линейным дифференциальным уравнением (31)»

п т \

2a,y"•=2м (31)

то обратная система описывается тем же дифференциальным уравнением, но ее входным сигналом служит у, а выходным - х.

Если т = п, то списываемые этим дифференциальным уравнением взаимно обратные системы имеют один и тот же тип. После приведения уравнения к системе уравнений первого порядка, как мы видели в п. 1.3.4, выходной сигнал каждой из них будет содержать входной сигнал с некоторым коэффициентом, а оставшаяся часть выходного сигнала будет определяться соответствующей системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Если т = 0, то выходной сигнал обратной системы определяется формулой

52 ГЛ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЬЕ СИСТЕМЫ

ее выходного сигнала. Поэтому положим

a;==z + Zi = z+ 2/,г/«> (48)

и определим коэффициенты Со, Cj, с„ „ так, чтобы величина 2 не содержала линейной комбинации входного сигнала у и его производных.

Пользуясь известной формулой для производных произведения двух функций,

F3 (48) находим

п-т S

1 = 0 г=0 S п - т

= 2*+ 2 2 С;ср-г/"+ =

г=0 1=0 S п-т+г

= 2>-f 2 2 cidnpyK

r=0 k = r

После этого очевидного преобразования двойной суммы выгодно опять изменить порядок суммирования, чтобы выделить в явном виде коэффициент при г/. Для определения пределов внутренней суммы по г заметим, что

0</-<<л -m - r,

откуда следует, что гk и rk - n +т. С другой стороны, rs и гО. Учитывая, что возможны неравенства fe>s и k-n + m<0, приходим к выводу, что пределами суммы по г будут

тах(0, k - n + m) и min{k, s). В результате получим

п-т+ S min(fc, s)

Л;() = 21>+ 2 2 C,dilpy\

kO r = max(0, ft-n + m) m m m n-m+s min(fe, s)

s = 0 s=0 s=0 ft=0 r=max(0, ft-n + m)

Изменив порядок суммирования по s и с учетОхМ того, что из fe<n -m + s следует s>fe-п + т и что s>0, получаем

mm m min s)

s=0 k=0 s=max(0, ft-n + m)/=max(0, ft-n + m)

{k = m, . ..,n-l).

(50)

Определив по формуле (49) с„ „, можно найти по формуле (50) последовательно c„ i, ...,Ci, с„. Само собой разумеется, что для этого необходимы неравенство ЬФО при всех i в случае одномерной системы и обратимость матрицы при всех t в случае многомерной системы.

После определения коэффициентов с„, с, ...,с„ „ в (48) слагаемые, содержащие г/"".....г/" в левой и правой частях урав-

Подставим это выражение в (31) и сравним коэффициенты при у"\ в левой и правой частях полученного равенства.

Тогда, учитывая, что min(fe,s) = s при sm, km, получим

S 2 СМ-Г = а, {k = m,...,n).

s = max(0, k-n тш) r=max(0, k-n + m)

Чтобы решить эти уравнения относительно Со, Cj, ..., с„ „, изменим порядок суммирования по л и s. Учитывая, что rs, получим

S YQbA-ra, (fe = m, ...,«)

r=max(0, k-n + m) s= г

или, положив s = r + /i,

т m-r

2 2 С;,Л+А = а, (й = т, п).

r=;max(0, k - n + m)h = u

При fe==« в сумме содержится только одно слагаемое, соответствующее г = т, h = 0. Поэтому при k = n имеем

откуда находим

Сп-. = Ь-а„. (49)

Выделив в сумме в остальных уравнениях слагаемое, соответствующее r = m, и учитывая, что при г = т h имеет только одно значение h = 0, приведем эти уравнения к виду

т-1 т-г

Ьс, + S 2 C;,ftfo,+дСЛ = а, (й = т, 1).

г = тах{0, к-п + т) h=0

Так как сумма здесь содержит только величины с номерами /, большими, чем k - tn {k - г > k-m для всех слагаемых, поскольку г < т.), то эти уравнения можно решить относительно с „. В результате получим

т-1 т-г

г = тах(0, к-п + т) h=0