=(~1)"L е«Л-»)е-"-- (136)

Далее, руководствуясь (125), мы должны выполнить дифференцирование по {ik). Но вместо дифференцирования по {Щ разложим правую часть формулы (136) в ряд Маклорена. Тогда значение производной

dadiiX-yf ... д{1крУР Ja=l

при А, = 0 будет равно коэффициенту при (tj) ... (ikp, умноженному на rУ ... Гр\.

Напомним, что о = Я/СЯ/2. Следовательно,

(-t-) = (a)iC(a)/2 = 2-i 2 kjAiA(i\\

(-t-) = 2- 2. /г,-,, ... /2,-,(aj(aj...(a;-)(u,).

/t. ffi.....ip 4- 1

(137)

Приведя подобные члены, находим

(-и) = 2-г 2 (if • • • (гХ)"2ь- • • V lj = ii+ ... +ft

й = 2/

получаем

"Ф (« е.7.т / у / 1 у/.Г» Г(« + Р/2)

га - hi N

(133)

Для преобразования (133) изменяем порядок суммирования:

ба" "I i Г(р/2) 1

- i (-1 ) .а---С„-р„ „, , e-w

l=\ m=0 VA/ ; J

Положив

е„„ = Г(/г + /?/2)/Г(;Г7/2), (134)

e„,= Ec-p„ .,,,ilfi (/ = l,...,n), (135) получим при a= 1

[д(р{а, а)/аа]а=1 =

11 W W

\h.....hpn-ht.....rp-hp

-( 0 2-" 2u 2u hi\...hp\(ri-hi)\...(rp-i-

x{ikiy ...{iXpYp.

в формуле (138) вторая сумма распространена на все различные перестановки 21 индексов и, qi, . . ., /j, qi, из которых hi равны 1, /г, равны 2, hp равны р. Но согласно формуле (94)

где рл,.....- центральные моменты нормального распределения

Wi{xCx). Следовательно,

Z irrbn • • • "я • • • (я)" • (139)

В формуле (136) также присутствует величина е""~. Она представляет собой характеристическую функцию нормально распределенного случайного вектора {ТВ, пример 5.32)

Разложив ее в ряд Маклорена, получим {ТВ, п. 4.5.3)

£ {iKY • • • (t-y- (140)

где af,.....Sp-начальные моменты нормального распределения

Wi {хСх).

Теперь перемножим формулы (139) и (140) почленно:

со 1\и

\h\ = 2ts,.....sjo=0

я- 2. 2и hii...hpi{ri-hiv. ...(гр-кру.

х{1КУ...{ИрУР. (141)

Вторая сумма распространена на все /"i, Гр, сумма которых не меньше 21, так как fi hi, rh„, вследствие чего г>/г = 2/.

Подставив выражение (141) в (136), будем иметь

дaд(ik{),.. diiXpY" Ja=i,?.=o

min(«, [ /-1/2])

r n«n у Ле У P P-"

В итоге формула (125) принимает вид

тш(п, [ г 1/2])

= 2« 2 iKi 2 c.;...c>ft.,...,ft,<-v (142)

Для вычисления центральных и начальных моментов нормального распределения yf и af удобны рекуррентные формулы

2 гл.РГ-.,-.-ui;f 2.,. (143)

где г-векторный индекс г = [г1.. .ГрУ, а е-/7-мерный вектор, все компоненты которого равны О, кроме s-й, равной 1. Для вывода этих формул достаточно применить формулу (39) для производной произведения двух функций к

(е-grjX; t))д\n{e-ng,(K t))ld(iK)

g,{X; i)d\ng,{K t)id{iX,)

и учесть, что семиинварианты первого и второго порядков совпадают с компонентами вектора математического ожидания т и элементами ковариационной матрицы /С, а все семиинварианты выше второго порядка нормально распределенной случайной величины равны нулю.

Изменив порядок суммирования по г и /, получим

л mm (п, [I г 1/2])

л, • . .гр = 0 1 = 0

ST thi, . . ., hpri-hi.....гп-hp

I -2 hi\...hp\(n-hiY....{rp-hp)\•

Отсюда видно, что

дn+n-...+rp й)