n-k~ 2 .2 n-k+ln-k-h + lЯh л=о/=о

{k=l, ...,n-l). (40)

Изменив порядок суммирования, получим

у = 2,,1+2 хР 2 CPqV-T (S = 1, . . ., п - 1). (35)

р=0 г=р

Дифференцируя формулу (34), соответствующуюs = и - 1, будем иметь

г/*" = i„ + 2 {qn-r-.xr* = 2„ + 2 {Яп-гХГ =

= 2„ + ;с 2 + 2 2 (36)

Подставив выражения (33), (35) и (36) в уравнение (31), получим

fl„z„+ 2«,-л+!«» 2?iz+22 qi}i +

г=1 I, / = 1 s=o i=o j

+ 2 2 2 сы=Г = 2 V- (37)

p=I s-=Dr=p p = 0

Сравнив коэффициенты при соответствующих производных входного сигнала х в правой и левой частях уравнения (37), получим уравнения для определения функций q:

2 2 C?a,qt-r = (р = 1, . . ., п). (38)

S =р Г = р

Последнее из этих уравнений, соответствующее р = п, дает

qo = anb„. (39)

Для решения остальных уравнений (38) заметим, что

2 2 С?аГ/= 2 Cpiasql%.i =

»=рг=р s=p<=0

= "2 2 C?,,a,<V, = "2 "2 С?.г«я-ь-ьл?!." =

1=0 s=p+l /=о ft=0

n-pn-p-h n-p-l n-p-h

= 22 С?+г«я++л?л = «п»-я+ 2 2 Clia.iHQ-ft=o г = о ft=o /=0

Подставив это выражение в (38) и положив n - p = k, получим

fe-l k-h

2 Si C"nZk+i an-k+h+iqll = b„-k (=1- n-l). h=o г = 0

Отсюда получаем рекуррентную формулу для определения функций qu qn-i-

k-l k-h

Определив таким образом функции Qi, ?„-i, приведем уравнение (37) к виду

п ( п п-1 S 1

«„2„ + 2 = < 6о-а„ 2 Яп-1 + 2 а. 2 Яг (х.

/ = 1 (, / = 1 s = 0 / = 0 J

решив это уравнение относительно z„ и присоединив к нему уравнения (32), соответствующие k = \, и-1, получим систему уравнений первого порядка

Ч = к+1 + ЯиХ {k=\, п-1),

г„ = - 2а;Ч-12г + ?„л:,

(41)

Яп = ап

/=1 s=0 /=0

п-1 П S

&0-2 адл-2 а..2.

й = 0

S=I /=1

Заметив, что

2 2 qli = 2 2«.ez = 2 "2 «л+г7»= 2 2"%+.?/.».

преобразуем формулу для q„ к виду

п-1n~h

/1=0 / =1

Ьо-2 2«ft.M"

ft = 0 / = 0

Очевидно, что эта формула совпадает с (40) при k = n. Таким образом, все функции q, q„ определяются формулой (40).

Случай т <п можно рассматривать как частный случай,когда 6„= ... =&„1 = 0. В этом случае формулы (39) и (40) дают

?о = ?1= .•• =?n-«z-i = 0, qn-m = anb„, bn-k-. 2 2 ВД+Л-+л+г-У

h=n-in I =0

(k=n - m+\,...,n). M

(42)

Таким образом, мы привели уравнение (31) к системе уравнений первого порядка (41), не содержащих производных входного сигнала х. Компоненты векторов Zj, z„ в (41) представляют собой переменные состояния рассматриваемой системы. Выходной сигнал системы у находится из первого уравнения (32):

y = Zi + qoX.

(43)

Очевидно, что уравнения (41) и (43) представляют собой частный случай уравнений (21) при «„ = 0, &о = 0,

О 1 О

О О 1

b = [l 0 ... OJ, b, = qo.

(44) (45)

В данном случае выходной сигнал у явно зависит от входного сигнала х. Однако это редкий случай, так как обычно всегда бывает т<п, вследствие чего с/о==0 и выходной сигнал г/ не содержит X.

В частном случае стационарной системы все коэффициенты «о, «1, а„, &1, Ь„ постоянны, вследствие чего и величины (/о. 91. (]п> определяемые последовательно формулами (39) и (40), постоянны. Поэтому = О (/i=0, 1, . . ., л; / = 1, 2,...) и формулы (40) значительно упрощаются:

?о = ай\, Чи = \Ьп.и-(п-к-нЯп] {k = \, п). (46) \ 1=0 у

Формулы (42) принимают вид

(7o = 9i = ... =9„ 1 = 0, (7„ „ = а;1&„,

?*=a-Mfo„ ft- 2 а„ +д ) {k=--n~m\, п). (47)

Заметим, что все предыдущие выкладки, и следовательно, и формулы (40), (42), (46) и (47) для q, qi, .., (/„ справедливы как в случае скалярных, так и в случае векторных входных и выходных сигналов х и у. В последнем случае а,, i. • • ..., а„, &„, &1, ..., &„, представляют собой матрицы

соответствующих размеров.

Пример 18. Для приведения уравнения

азУ+a2y+aiy+ау = бг + 6ii + к системе уравнений первого порядка в соответствии с (32) и (42) полагаем

y = Zi, Z2 = Zi - qiX, Z3 = Z2 - q2X. Тогда по формулам (42) найдем

9о = 0, qi = as%, 92 = 03 (6l - ao9l-«l?l) •

<1з~аз (Ь„-ai9i -ai-aiq - 0292 - 0392).

В результате получим систему уравнений первого порядка (41), которая в этом случае имеет вид

2i = Zi+qxX, Zi = Z3 + q2X,

Zs = - аз * (a„Zi + aiZj -f- 0223)+9за; . V = Zi.