гл. 6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНИ ,1ЬНЫЕ СИСТЕМЫ

К= \ [а(г, t){z-m){z~m)a{z, ty

- СО

-Vb{z, i)v{t)b(z, ty]wAz) Вводя обозначения

1 + 5: 2 c.pAz)

(Pi(m, К, t) 5 "( t)i{Z)dz,

- ОС

K, t)= 5 a{z, t)p,.{z)wAz)dz,

- 00

<p,{m, 0= S [a(г, i)(z-m) +

- 00

+ (z-m)a(z, + t)v{t)b{z, ty]w,{z)dz,

+ {z-m)fl{z, + t)v(t)b{z, ty]pyiz)w,{z)dz, представим эти уравнения в виде

гп = (рАт, К, t)+ Е фiv(/и, К, t)Cy,

k=3 ivi=fe N

ktpAm, к, t)+L E 42v{m, K, t)Cy.

й=31V\=k

(64) (65)

(66) (67)

(68) (69)

Чтобы составить уравнения для коэффициентов Су, воспользуемся формулой (2.40), согласно которой

Дифференцируя эту формулу по времени t и приняв во внимание, что полином qA{z) зависит от математического ожидания т и ковариационной матрицы К вектора Z, которые являются функциями времени, находим

Си =

где (7и(2) - матрица-столбец производных полинома qy,{z) по компонентам вектора т, а 7(2) - квадратная матрица производных

j/.= o

Wi (z) dz + q! (a) m + tr [q (cc) K],

1+ Z L Pv{г)

где q"i{a,) и q {a) - как всегда, результат замены одночленов вида г ... в выражениях полиномов qZ[z) и (г) соответствующими моментами а г. Положив

X[ira{z, 0 + Х(Ь(г, tyX; t)]e"-Wi{z)dz, (70)

CD - CO

+ Х{Ь(г, 0]e-},„/v(2)te.i(2)d2 (71)

и подставив выражения tn и К из (68), (69), получим уравнения cnim. К, + К, ty qZ{a)ir\(f,{m, К, t)q<{a)\-y

+ L Е {.Лп, К, 0 + Ф1г(/и, К, tyq{a) + tr [ф J(/n, ТС, О q (а)]} (I VI = 3, ..., yV). (72)

Здесь моменты аг , г в ди (ос) и gi?-(a) должны быть заменены

ИХ выражениями через коэффициенты в соответствии с формулой (2.42).

Уравнения (68), (69) и (72) образуют систему уравнений, определяющую все параметры т. К, (vj = 3, . , N) отрезка ортогонального разложения fl(z\ 6), аппроксимирующего плотность /i (г; t). При этом за начальные значения т, К, ( v = = 3, . . ., N) при t = ta следует принять соответствующие параметры отрезка ортогонального разложения, аппроксимирующего начальную плотность /„(г) величины Z.

Все предыдущие выкладки справедливы и в том случае, когда только (2) представляют собой полиномы, а (г) не являются полиномами. В частности, уравнения (68), (69) и (72) справедли-

полинома qyi(z) по элементам матрицы К. Подставив в эту формулу выражение dgiX; t)/dt из (31) и заменив плотность/i (г; t) аппроксимирующим ее отрезком ортогонального разложения, получим

- со

Ф°,,(т, К, t)= \ ]q{[d/idKz"A)[ila(z, t) +

X (b (z, ty К; 0] е"}д,„ (z) dz, (70a) ц>Ат, К, t)= ] \q.A[dyidk?y)[ila{z, t)y-

-cd ~

-YyAbiz, tyX; t)]e>"\,pA)wAz)d7, (71a)

где z"=[z„+i ... Zp„y, уравнения (68) и (69) заменяются уравнениями (41а) и (42а) п. 6.4.2 при \ г\ = 2, „ = ре+ес Я (г; 9), определяемой формулой (63) при z = z, а уравнения (72) заме-

ВЫ в случае, когда правая часть формулы (63) представляет собой отрезок разложения fi(z; t) по производным плотности di\(z). В этом случае /7у (г) - ш"(г)/ш (г), а qy{z) представляют собой полиномы (п. 2.3.1). Такое разложение было использовано для приближенного нахождения fi(z; t) в [78].

Заметим, что уравнения (72) нелинейны относительно коэффициентов Су. Если отказаться от требования совпадения .люментов первого и второго порядков распределения сс\(г) с соотвегствующпмн моменталиг распределения (z; t) и задать эти моменты для (z) априори, то получатся линейные уравнения для коэффинпентов Cv(v = l, iV). Этп уравнения проите, чем (72), о,днако прн этом придется взять большее /V.

Если qv{z) не являются нолинома.ми, то предыдущ,ие выкладки неприменимы. В этом случае для вывода уравнений длч коэффициентов Cv следует вычислить стохастический дифференциал функции qy{Z{t}) процесса Z (t) по фордгуле Ито(3.о1) (з случае нормального белого шума V (t)) или но обш,ей формуле дифференцирования сложной функции (3.75) (в случае произвольного белого шума V (t)) и взять математическое ожидание полученного выражения. В результате в случае нормального белого шума получатся те же самые уравнения (72) для коэффициентов с (в случае нормального белого шума V {t) множитель при wz) в (70) и при /7у (г) ffii (г) в (71) определяется формулой (76)). Разложение плотности /i(z; t) по произвольной ортонормальной системе функций было применено для приближенного нахождения (г; t) в [115].

В случае непрерывно-дискретной системы с (расширенным) вектором состояния, определяемым уравнениями (7а) п. 6.4.1, формулы (70) и (71) заменяются соответственно формулами